פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 4

ניסוי 2 הסדקים של יאנג

קודם הזכרנו במעורפל את ניסוי שני הסדקים של יאנג. כעת, נעסוק בו בצורה יותר מעמיקה.
אלומת אלקטרונים בעלי אותה המהירות (בקירוב טוב) מגיעה לקיר ובו שני סדקים. האלקטרונים עוברים דרך הסדקים ופוגעים במסך. על המסך יש גלאים, חיישנים, או אמצעי אחר באמצעותו ניתן לדעת כמה אלקטרונים פגעו בכל נקודה.
נניח שאנחנו יורים את האלקטרונים ב"בודדת" (כלומר אחד-אחד, בצורה בדידה, ולא ברצף). ונניח גם שסך כל האלק' שנורו הוא N.

• עבור קטע קטן $\ dx$ נגדיר את $\ dN(x)$ = מס' האלק' שפגעו באינטרוול $\ dx$. לכן, מתקיים: $\ ={\frac {dN(x)}{N}}\equiv p(x)\cdot dx$ ההסתברות לכך שאלקטרון כלשהו מתוך האלומה יפגע בקטע $\ dx$.
• כעת: נניח שסוגרים את סדק B (בה"כ. כמובן שהדברים שיובאו להלן נכונים גם עבור סגירת סדק A). נקבל תמונת התאבכות (=פונקצית התאבכות) כמו בתמונה:

.
קל לראות שמתקיים: $\ p(x)\not =p_{A}(x)+p_{B}(x)$
.

• מקרה אחר: נפתח שוב את שני הסדקים, ונשים מודד, שיבדוק עבורינו איזה אלקטרון עבר דרך סדק B. נקבל תמונה כזו:

שימו לב כי התמונה הינה הצעה בלבד, כלומר לא בטוח שזו תהיה התוצאה. מה שכן בטוח, לעומת זאת, זו העובדה שנקבל תמונה שונה מזו שנקבל ללא הגלאי... במילים אחרות:

שימו לב: עצם הימצאות הגלאי גרמה לכך שנקבל תמונה שונה, וההתאבכות נעלמת!!

מסקנה: מדידה משנה את התוצאה, ואת המצב הפיזיקלי!

פונקצית הסתברות ופונ' גל

ללא מדידה קיבלנו פונקצית התאבכות, כלומר בגלים עסקינן. לכן, נרצה להגדיר פונקצית גל מתאימה. בנוסף, ראינו שמתקיים: $\ |^{2}$פונקצית הגל| = פונקצית ההסתברות, לכן נגדיר את פונקציות הגל באופן הבא:
$\ \psi _{A}(x)$ = פונ' הגל המתארת את האלקטרון שיצא מסדק $\ A$ בלבד, כאשר סדק $\ B$ סגור. זוהי פונקציה מרוכבת, והיא מקיימת: $\ P_{A}(x)=\left|\psi _{A}(x)\right|^{2}$. ובאותה צורה, $\ \psi _{B}(x)$ זוהי פונ' הגל המתארת את האלקטרון שיצא מסדק $\ B$ בלבד, כאשר סדק $\ A$ סגור, וגם זו פונ' מרוכבת המקיימת: $\ P_{B}(x)=\left|\psi _{B}(x)\right|^{2}$.
כאשר שני הסדקים פתוחים, נקבל תמונת התאבכות המורכבת משני הגלים, כלומר נקבל $\ =\psi (x)=\psi _{A}(x)+\psi _{B}(x)$ משרעת ההסתברות כאשר שני הסדקים פתוחים.
צורה כללית של מספר מרוכב: $\ z=|z|e^{i\theta }$, לכן באופן כללי נוכל לכתוב את פונקציות הגל שלנו באופן הבא:

$\ {\begin{matrix}\psi _{A}(x)=\left|\psi _{A}(x)\right|\cdot e^{i\theta _{A}(x)},&\psi _{B}(x)=\left|\psi _{B}(x)\right|\cdot e^{i\theta _{B}(x)}\end{matrix}}$

$\ \Rightarrow \ {\begin{matrix}P_{A}(x)=\left|\psi _{A}(x)\right|^{2},&P_{B}(x)=\left|\psi _{B}(x)\right|^{2}\end{matrix}}$ $\ \Rightarrow \ P(x)=\left|\psi (x)\right|^{2}=\left|\psi _{A}(x)+\psi _{B}(x)\right|^{2}=$ $\ =\left|\psi _{A}(x)\right|^{2}+\left|\psi _{b}(x)\right|^{2}+\left|\psi _{A}(x)\right|\left|\psi _{B}(x)\right|\left(e^{i\left(\theta _{A}-\theta _{B}\right)}+e^{-i\left(\theta _{A}-\theta _{B}\right)}\right)=$ $\ =P_{A}(x)+P_{B}(x)+\underbrace {2{\sqrt {P_{A}P_{B}}}\cos \left(\theta _{A}-\theta _{b}\right)} _{*}$

כאן רואים במפורש את העובדה ש- $\ P(x)\not =P_{A}(x)+P_{B}(x)$. כמו כן, ברור ש- $\ *$ הוא איבר ההתאבכות.

פונקצית גל ומשוואת שרדינגר

בפיזיקה הקלאסית, אנו זקוקים לשישה מספרים על מנת להגדיר במדויק מצב של חלקיק ב- 3D: $\ \left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)$, או לחילופין $\ \left(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}}\right)$. מהו המקביל בפיזיקה הקוונטית?
בבואנו לבנות תורה חדשה, אנו מבססים אותה על הנחות יסוד מסוימות. במקרה של הפיזיקה הקוונטית, הנחות היסוד שלנו תהיינה:

1. מצב של חלקיק קוונטי (בניגוד לקלאסי) מוגדר ע"י פונקצית הגל שלו: $\ \psi \left({\vec {r}},t\right)$.
2. $\ \psi \left({\vec {r}},t\right)$ משתנה עם הזמן והמקום (המרחב) לפי מ"ש (משוואת שרדינגר), בה נדון להלן.
3. המשמעות של פונקציות הגל: $\ =\left|\psi \left({\vec {r}},t\right)\right|^{2}d^{3}r$ ההסתברות למצוא את החלקיק באלנמט נפח $\ d^{3}r$ בזמן $\ t$.
   

כזכור, גל מישורי $\ e^{{\frac {i}{\hbar }}E\cdot t-{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}$ מתאר חלקיק חופשי בעל מסה $\ m$, תנע $\ {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$ ואנרגיה קינטית $\ E=\hbar \omega ={\frac {1}{2m}}p^{2}$. נרצה להתאים לו משוואה; "ננחש", לכן, משוואת גל, כלומר משוואה שגל מישורי הוא הפתרון שלה.

וקיבלנו את המשוואה: $\ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi \left({\vec {r}},t\right)={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi \left({\vec {r}},t\right)$

זוהי, כמובן, משוואת שרדינגר. ונרצה לבדוק שגל מישורי אכן מהווה לה פתרון, כלומר מקיים אותה.
נסמן: $\ \psi =e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(E\cdot t-{\vec {p}}.\cdot {\vec {r}}\right)}$, ואז:
$\ {\begin{matrix}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\frac {\partial }{\partial t}}\left(e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(E\cdot t-{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\right)}\right)=-{\frac {i}{\hbar }}E\psi \\{\frac {\partial }{\partial r}}\psi ={\frac {\partial }{\partial r}}\left(e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(E\cdot t-{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\right)}\right)=-p{\frac {i}{\hbar }}\psi \\\nabla ^{2}\psi =\nabla ^{2}\left(e^{-{\frac {i}{\hbar }}\left(E\cdot t-{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}\right)}\right)=p^{2}\left({\frac {i}{\hbar }}\right)^{2}\psi \end{matrix}}$

נציב את מה שקיבלנו במ"ש (משוואת שרדינגר) הרשומה למעלה, ונקבל:
$\ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi \left({\vec {r}},t\right)=i\not \hbar {\frac {-i}{\not \hbar }}E\psi =-\left(i^{2}\right)E\psi =E\psi$
$\ {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi \left({\vec {r}},t\right)={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}p^{2}\left({\frac {i}{\hbar }}\right)^{2}\psi ={\frac {-\hbar ^{2}P^{2}i^{2}}{2m\hbar ^{2}}}\psi ={\frac {P^{2}}{2m}}\psi$
נזכור שמתקיים: $\ E={\frac {p^{2}}{2m}}$, וקיבלנו שפונקצית הגל אכן מקיימת את מ"ש, כלומר מ"ש מהווה פתרון לפונקצית הגל.

• הערה: מ"ש בפיזיקה הקוונטית היא האנאלוג של חוקי ניוטון בפיזיקה הקלאסית: הרוצה יקרא לה חוק, והרוצה - הגדרה. בכל מקרה, זהו הבסיס לכל התורה ועל פיה יישק דבר - ניתוח, התפתחות בזמן ועוד, ולית מאן דיכפין.

ההרצאה הקודמת: הרצאה מספר 3

עמוד ראשי: פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס

ההרצאה הבאה: הרצאה מספר 5