פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 6

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

דוגמה לעקרון אי-הוודאות של הייזנברג[עריכה]

ניקח גל מישורי סטנדרטי:
נגדיר: - זהו גל מישורי יחיד עם מספר גל . נזכור שמתקיים: , כלומר לגל זה ישנה תדירות מסויימת ויחידה.
יהא כעת , ונרצה להרכיב מספר אינסופי של גלים מישוריים בעלי רצף התדירויות הנ"ל. נבנה זאת באופן הבא: , (כאשר = סכימה על רצף תדירויות ו- = עבור תדירות מסויימת)

מתקיים: . נסמן: , ונקבל: .
וכל מי שאי פעם למד גלים יודע שגרף הפונקציה נראה כך:
Sincx.jpg נסמן: ., ונרצה ללמוד משהו על הקשר בינו לבין (שהוא, כזכור, טווח בתדירויות שלנו). לשם כך, נבדוק מתי הסינוס מתאפס:
עבור מסויים.
נתבונן בגרף: עבור הנקודה , מתקיים: , ואילו עבור הנקודה , מתקיים: . נחסר את שני אלה, ונקבל:

Nuvola apps kcmsystem.png

וקיבלנו:

כלומר: אם נרצה לקבל יותר גדול, יהא עלינו לקחת יותר קטן, ולהיפך. זוהי דוגמא לעיקרון אי-הוודאות, ויותר מאוחר נראה את הקשר בין עקרון זה לבין התמרת פוריה.

הרכבה של גלים מישוריים (באופן כללי)[עריכה]

כאמור, אסכמת (אינטגרל) של גלים מישוריים בתחום התדרים תראה כך: . מדובר בהרכבה (סופרפוזיציה, צירוף לינארי), כאשר לכל המקדם של הפונקציה הוא .
כעת: לכל נתאים מקדם כלשהו. שונה מ- ל- , והוא מהווה פונקצית משקל עבור הגל בעל המאפיין . במילים אחרות, הוא המקדם של האיבר ה- -י, כפי שהוסבר בתחילת ההרצאה הקודמת.
נרחיב כעת את גבולות האינטגרל לכל הישר הממשי, ומקדם הנרמול שלנו (המקדם שלפני האינטגרל - יותר מאוחר נראה מדוע הוא נקרא "מקדם נרמול") יהיה . ואז חבורת הגלים שלנו תהיה: .
נציב , ונקבל:
בעזרת התמרת פוריה, נוכל להסיק מכאן כי: .

ניתוח החבורה[עריכה]

הפונקציה היא, כאמור, הרכבה של גלים מישוריים. לכן, קיימת תופעת התאבכות ,ונרצה לחקור אותה. על מנת לעשות זאת, נחפש את המקסימום של הפונקציה.
נניח שהפונקציה היא גאוסיאנית. ואז, נוכל לכתוב אותה באופן הבא: . כך נראה גאוסיאן כללי
באופן כללי יתכן גם ש- , אבל כרגע נניח שהוא קטן מספיק. אם כן, נוכל לקרב את הפאזה של באמצעות טור טיילור באופן הבא: , כאשר * = איברים שניתן להזניח.


נסמן: .אז נקבל:



כעת: נשים לב ש- הוא מספר, וש- לא תלוי ב- k - כלומר אפשר להוציא אותו מחוץ לאסכמת. ונקבל:



נסמן: , ונרצה לחקור את ההתנהגות של A.



ההרצאה הקודמת:
הרצאה מספר 5
עמוד ראשי:
פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס
ההרצאה הבאה:
הרצאה מספר 7