פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 6

דוגמה לעקרון אי-הוודאות של הייזנברג

ניקח גל מישורי סטנדרטי: $\ y\left(x,t\right)=A\cdot \cos \left(\omega t-kx\right)=A\cdot Re\left(e^{-i\left(kx-\omega t\right)}\right)$
נגדיר: $\ {\tilde {\bar {y}}}(x,t)=A\cdot e^{-i\left(kx-\omega t\right)}$ - זהו גל מישורי יחיד עם מספר גל $\ k$. נזכור שמתקיים: $\ k={\frac {2\pi }{\lambda }}$, כלומר לגל זה ישנה תדירות מסויימת ויחידה.
יהא כעת $\ k\in [k_{1},k_{2}]$, ונרצה להרכיב מספר אינסופי של גלים מישוריים בעלי רצף התדירויות הנ"ל. נבנה זאת באופן הבא: $\ {\bar {y}}(x,t)={\frac {A}{k_{2}-k_{1}}}\underbrace {\int \limits _{k_{2}}^{k_{1}}dk} _{*}\cdot \underbrace {e^{i\left(kx-\omega t\right)}} _{**}$, (כאשר $\ *$ = סכימה על רצף תדירויות ו- $\ **$= עבור תדירות מסויימת)
$\ \Rightarrow {\bar {y}}(x,t)={\frac {A}{k_{2}-k_{1}}}\cdot e^{-i\omega t}\int \limits _{k_{2}}^{k_{1}}dk\cdot e^{ikx}=$ $\ ={\frac {A}{k_{2}-k_{1}}}\cdot e^{-i\omega t}\cdot {\frac {1}{ix}}\left(e^{ik_{2}x}-e^{ik_{1}x}\right)=$ $\ ={\frac {A\cdot e^{i\omega t}}{k_{2}-k_{1}}}{\frac {1}{ix}}e^{i\left({\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}\right)x}\underbrace {\left(e^{i{\frac {k_{2}-k_{1}}{2}}x}-e^{-i{\frac {k_{2}-k_{1}}{2}}x}\right)} _{*}$
מתקיים: $\ *=\left(e^{i{\frac {k_{2}-k_{1}}{2}}x}-e^{-i{\frac {k_{2}-k_{1}}{2}}x}\right)=2i\sin \left({\frac {k_{2}-k_{1}}{2}}\right)$. נסמן: $\ \Delta K=k_{2}-k_{1}$, ונקבל: $\ {\bar {y}}(x,t)=A\cdot e^{-i\omega t}e^{{\frac {i\left(k_{1}+k_{2}\right)}{2}}x}{\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}\Delta kx\right)}{{\frac {1}{2}}\Delta kx}}$ $\ \Rightarrow y(x,t)=Re\left({\hat {y}}(x,t)\right)={\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}\Delta kx\right)}{{\frac {1}{2}}\Delta kx}}\cdot \cos \left({\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}x-\omega t\right)$.
וכל מי שאי פעם למד גלים יודע שגרף הפונקציה נראה כך:
נסמן: $\ x_{2}-x_{1}=\Delta x$., ונרצה ללמוד משהו על הקשר בינו לבין $\ \Delta k$ (שהוא, כזכור, טווח בתדירויות שלנו). לשם כך, נבדוק מתי הסינוס מתאפס:
$\ \sin \left({\frac {1}{2}}\Delta kx\right)=0$ $\ {\frac {1}{2}}\Delta kx=n\pi \Leftarrow$ עבור $\ n\in \mathbb {Z}$ מסויים.
נתבונן בגרף: עבור הנקודה $\ x_{1}$, מתקיים: $\ {\frac {1}{2}}\Delta kx_{1}=-\pi$, ואילו עבור הנקודה $\ x_{2}$, מתקיים: $\ {\frac {1}{2}}\Delta kx_{2}=+\pi$. נחסר את שני אלה, ונקבל: $\ {\frac {1}{2}}\Delta k\Delta x=2\pi \Leftarrow {\frac {1}{2}}\Delta k\left(x_{2}-x_{1}\right)=2\pi$

וקיבלנו: $\ \Delta x\Delta k=4\pi$

כלומר: אם נרצה לקבל $\ \Delta x$ יותר גדול, יהא עלינו לקחת $\ \Delta k$ יותר קטן, ולהיפך. זוהי דוגמא לעיקרון אי-הוודאות, ויותר מאוחר נראה את הקשר בין עקרון זה לבין התמרת פוריה.

הרכבה של גלים מישוריים (באופן כללי)

כאמור, אסכמת (אינטגרל) של גלים מישוריים בתחום התדרים $\ \left[k_{1},k_{2}\right]$ תראה כך: $\ \psi (x,t)={\frac {A}{k_{1}-k_{2}}}\int \limits _{k_{1}}^{k_{2}}dk\cdot e^{i\left(kx-\omega t\right)}$. מדובר בהרכבה (סופרפוזיציה, צירוף לינארי), כאשר לכל $\ k\in \left[k_{1},k_{2}\right]$ המקדם של הפונקציה הוא $\ {\frac {A}{k_{2}-k_{1}}}$.
כעת: לכל $\ k\in \left(-\infty ,\infty \right)$ נתאים מקדם $\ g\left(k\right)$ כלשהו. $\ g\left(k\right)$ שונה מ- $\ k$ ל- $\ k$, והוא מהווה פונקצית משקל עבור הגל בעל המאפיין $\ k$. במילים אחרות, $\ g\left(k\right)$ הוא המקדם של האיבר ה- $\ k$-י, כפי שהוסבר בתחילת ההרצאה הקודמת.
נרחיב כעת את גבולות האינטגרל לכל הישר הממשי, ומקדם הנרמול שלנו (המקדם שלפני האינטגרל - יותר מאוחר נראה מדוע הוא נקרא "מקדם נרמול") יהיה $\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$. ואז חבורת הגלים שלנו תהיה: $\ \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dk\cdot g(k)\cdot e^{i\left(kx-\omega t\right)}$.
נציב $\ t=o$, ונקבל: $\ \psi (x,t=0)=\psi (x,0)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dk\cdot g(k)\cdot e^{ikx}$
בעזרת התמרת פוריה, נוכל להסיק מכאן כי: $\ g\left(k\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\cdot \psi (x,0)e^{-ikx}$.

ניתוח החבורה

הפונקציה $\ \psi (x,0)$ היא, כאמור, הרכבה של גלים מישוריים. לכן, קיימת תופעת התאבכות ,ונרצה לחקור אותה. על מנת לעשות זאת, נחפש את המקסימום של הפונקציה.
נניח שהפונקציה $\ g(k)$ היא גאוסיאנית. ואז, נוכל לכתוב אותה באופן הבא: $\ g(k)=\left|g(k)\right|\cdot e^{i\alpha (k)}$.
באופן כללי יתכן גם ש- $\ \Delta k=\infty$, אבל כרגע נניח שהוא קטן מספיק. אם כן, נוכל לקרב את הפאזה של $\ g(k)$ באמצעות טור טיילור באופן הבא: $\ \alpha (k)\simeq \alpha \left(k_{0}\right)+\underbrace {\left(k-k_{0}\right)} _{=\Delta k}\left.\left({\frac {\partial \alpha }{\partial k}}\right)\right|_{k=k_{0}}+...(*)$, כאשר * = איברים שניתן להזניח.

$\ \Rightarrow \psi \left(x,0\right)\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i\left(\alpha \left(k_{0}\right)+\left(k-k_{o}\right)\left.\left({\frac {\partial \alpha }{\partial k}}\right)\right|_{k=k_{0}}\right)}e^{ikx}$

נסמן: $\ x_{0}\equiv -\left.\left({\frac {\partial \alpha }{\partial k}}\right)\right|_{k=k_{0}}$ .אז נקבל:

$\ \psi \left(x,0\right)\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i\left(\alpha \left(k_{0}\right)+\left(k-k_{0}\right)x_{0}+kx\right)}=$

$\ ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i\left(\alpha \left(k_{0}\right)+kx_{0}-k_{0}x_{0}+kx\right)}=$

$\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i\left(\alpha \left(k_{0}\right)+kx_{0}-k_{0}x_{0}+kx+k_{0}x-k_{0}x\right)}=$

$\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i\left(\alpha \left(k_{0}\right)+k_{0}x\right)+i\left(kx_{0}-k_{0}x_{0}+kx-k_{0}x\right)}$

כעת: נשים לב ש- $\ \alpha \left(k_{0}\right)$ הוא מספר, וש- $\ k_{0}x$ לא תלוי ב- k - כלומר אפשר להוציא אותו מחוץ לאסכמת. ונקבל:

$\ \psi \left(x,0\right)=\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\alpha \left(k_{0}\right)+k_{0}x}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i\left(k-k_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)}$

נסמן: $\ A=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dk\left|g\left(k\right)\right|e^{i\left(k-k_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)}$, ונרצה לחקור את ההתנהגות של A.

ההרצאה הקודמת: הרצאה מספר 5

עמוד ראשי: פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס

ההרצאה הבאה: הרצאה מספר 7