פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 1

חלק א': הקדמה: חזרה על פיזיקה קלאסית

הפיזיקה הקלאסית מתחלקת ל-2 קבוצות:
1) מכניקה: מושג בסיסי במכניקה הינו חלקיק נקודתי בעל מסה $\ m$. תיאור תנועתו נתון ע"י:
וקטור תנע: $\ {\vec {p}}=m{\vec {v}}$
אנרגיה כוללת: $\ E=E_{k}+E_{p}$
כאשר $\ E_{p}$= אנרגיה פוטנציאלית, ו- $\ E_{k}$ הינה האנרגיה הקינטית של החלקיק.
דינמיקה נתונה ע"י חוקי ניוטון: $\ {\vec {F}}={\frac {d}{dt}}{\vec {p}}$, וידועה לנו גם ההכללה למכניקה יחסותית.
2) אלקטרומגנטיות: נתונה התפלגות של מטענים $\ \rho$ ושל זרמים $\ {\vec {J}}$. אלה מהווים מקור לשדה א"מ (אלקטרו מגנטי) $\ {\vec {E}},{\vec {B}}$, המקיים את 4 משוואות מקסוול.
במילים אחרות, $\ {\vec {E}}$ ו- $\ {\vec {B}}$ תלויים זה בזה באמצעות הקבוע $\ c$ (שהוא, כידוע, מהירות האור). לכן, ישנם שני מקרים בהם אין תלות שלהם איש ברעהו - כאשר אין תנועה. כלומר, במקרים של אלקטרוסטטיקה (חוק קולון) ושל מגנטוסטטיקה (חוק ביו-סבר). השדות $\ {\vec {E}}=\left(E_{x},E_{y},E_{z}\right),$ $\ {\vec {B}}=\left(B_{x},B_{y},B_{z}\right),$ נתונים ע"י פתרון של משוואת הגלים. יהא $\ \varepsilon \left({\vec {r}},t\right)$ רכיב כלשהו של הגל. אז הוא מקיים את משוואת הגלים: $\ \nabla ^{2}\varepsilon \left({\vec {r}},t\right)={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon }{\partial t^{2}}}\left({\vec {r}},t\right)$ (כאשר: $\ {\vec {r}}=\left(x,y,z\right)$.)
•שדה פירושו מספר אינסופי של ד"ח (דרגות חופש). למשל, על מיתר אינסופי במימד אחד ניתן לחשוב כעל אינסוף מסות בודדות, התלויות אישה ברעותה. כל מסה כזו מהווה ד"ח אחת.
שימו לב!!! $\ \varepsilon \left({\vec {r}},t\right)$ הוא שדה, המוגדר בכל נקודה במרחב. וזאת, לעומת חלקיק נקודתי של המכניקה הקלאסית, שממוקם בנקודה מסויימת מאוד במרחב. זהו הבדל מהותי!

למה, בעצם?

כאמור למעלה - בגלל עניין דרגות החופש: במע' חד מימדית, לחלקיק יש ד"ח אחת בדיוק, ואילו לשדה - אינסוף.

• לפיזיקה יש נטייה לאחד בין התופעות השונות, כלומר להשתמש במספר הקטן ביותר של מושגים (כמו האיחוד של $\ {\vec {E}}$ ושל $\ {\vec {B}}$ באמצעות $\ c$, כאמור למעלה).

$\ ?$ מה בנוגע לאיחוד של מכניקה ושל א"מ?
כמעט כל גל ניתן לתיאור ע"י מכניקה קלאסית (קול, לחץ ועוד...), כלומר קיים בסיס חומרי (מכני - מסה, אטומים וכולי) שמתאר את ד"הח הממוקמות.

• קשר בין 2 קבועים בפיזיקה קשור למציאת קבוע בסיסי של הטבע. במקרה דנן, כפי שכבר נאמר, מדובר במהירות האור $\ c$ המקשרת בין $\ {\vec {E}}$ לבין $\ {\vec {B}}$ (או בין $\ \varepsilon _{0}$ ו- $\ \mu _{0}$). ולראייה - משוואות מקסוול.
  

$\ ?$ האם קיים בסיס חומרי דומה עבור גלים א"מ? - זוהי שאלה מהותית שהתשובה לה היא:

לא!!

ולראיה - הניסוי של מייקלסון-מורלי, שהראה מפורשות שאין אתר. כלומר, $\ c$ היא קבועה, ואינה תלויה באף חומר!!
מושג בסיסי בא"מ המקביל לחלקיק נקודתי במכניקה הינו גל מישורי מתקדם. גל כזה מתקבל באמצעות פתרון של גל הרמוני: $\ \varepsilon \left({\vec {r}},t\right)=\varepsilon _{0}\cos \left({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t\right)$ , כאשר $\ {\vec {k}}$ הינו וקטור הגל, ו- $\ \omega$ - תדירותו.
כלומר, ההקבלה בין א"מ לבין מכניקה קלאסית היא כדלקמן:

$\ {\begin{matrix}EM&Mechanics\\{\vec {k}}&{\vec {p}}\\\omega &E\\Wave&Particle\end{matrix}}$

מטרת הקורס (או לפחות המבוא לו): חיפוש הקשר המהותי בין מכניקה לבין א"מ. מהותי - כלומר כזה שאינו תלוי בסוג התופעה, אלא רק בקבועים הבסיסיים של הטבע.
במילים אחרות, אנו נחפשים את הקשר גל $\leftrightarrow$ חלקיק. האם קיים מושג כללי כזה?

חלק ב': הניסויים שהתחילו את תורת הקוונטים

כמו כל תורה פיזיקלית, גם תורת הקוונטים לא צמחה יש מאין. היא נולדה כצורך להסביר תופעות שהפיזיקה הקלאסית לא ידעה לתת להן מענה. נראה כעת מספר דוגמאות לתופעות כאלה:

האפקט הפוטו-אלקטרי

באפקט הפוטו-אלקטרי יורים קרן אור על קתודה. כבר לפני פיתוחה של תורת הקוונטים היה ידוע, שכאשר אור פוגע במתכת הדבר גורם לשחרור של אלקטרונים ממנה. מאחר והנחת הפיזיקה הקלאסית הינה שהאור הוא גל א"מ (אלקטרו מגנטי) בעל אנרגיה רציפה, הרי שניסוי מעין זה צריך לקיים:

• אנרגית האור תבלע על ידי מספר גדול של אלקטרונים, כלומר יעבור זמן רב עד שאלקטרון יחיד יצבור מספיק אנרגיה שתאפשר לו להשתחרר מהמערכת.
• האנרגיה הקינטית של האלקטרון תלויה בעוצמת האור.
• לכל תדירות של אור, אם קתודה תקבל גל אור למשך מספיק זמן - בסופו של דבר, היא תפלוט אלקטרונים.

אלא שבפועל, התוצאות הן שונות:

• שחרור האלקטרונים הוא מיידי (כעבור $\ 10^{-8}$ שניות).
• האנרגיה הקינטית המקסימלית של האלקטרון, $\ E_{max}$ אינה תלויה בעוצמת האור, אלא בתדירותו.
• עבור תדירויות מסויימות, גם אם נירה את קרן האור בעוצמה גדולה מאוד ולמשך זמן אינסופי, עדיין לא ייפלטו אלקטרונים מהקתודה.

במילים אחרות: האלקטרונים משתחררים מהמתכת אך ורק אם תדירות האור $\ \nu$ גדולה מתדירות סף מסויימת $\ \nu _{0}$. תדירות זו אופיינית למתכת (=תלויה רק בה), ואינה תלויה בעוצמת האור $\ I$. האנרגיה הקינטית המקס' של האלקטרון קשורה לתדירות האור באופן הבא: $\ E_{max}=a\nu +b$, כאשר $\ a,b\in \mathbb {R}$ קבועים כלשהם $\ \Leftarrow$ ניתן לכתוב את $\ e_{max}$ כפונקציה אפינית (=לינארית + הזזה) של $\ \nu$.

בנוסף, כמות האלקטרונים הנפלטים פרופורציונלית לעוצמת האור $\ I$. שימו לב, כי פרט לתוצאה זו, כל התוצאות הרשומות מעלה אינן מוסברות על ידי הפיזיקה הקלאסית!

פונקצית העבודה של מתכת

נחשוב על מתכת כעל בור פוטנציאל גדול, בו כלואים אלקטרונים.
.
עלינו להשקיע אנרגיה על מנת לשחרר את האלקטרון. אם נשקיע אנרגיה מינימלית, ישתחררו רק האלקטרונים בעלי האנרגיה הגבוהה ביותר (שערכם המוחלט הכי קרוב לאפס). נסמן אנרגיה מינימלית זו ב- $\ W$ - פונקצית העבודה של המתכת.

מיליקן בנה את המערכת הבאה:
והגדיר: $\ V_{0}$ הינו פוטנציאל העצירה, כלומר זהו המתח שיש לספק למערכת על מנת ליצור הפרש פוטנציאלים מספיק חזק שיעצור את האלקטרון. מתקיים:

• האלקטרון נע במהירות $\ \Leftarrow v$ הא"ק (האנרגיה הקינטית) שלו הינה $\ {\frac {1}{2}}mv^{2}$.
• מטענו $\ e$, ומסופק לו מתח $\ \Leftarrow V_{0}$ הא"פ (האנרגיה הפוטנציאלית) שלו הינה $\ eV_{0}$.
• יהא $\ h$ קבוע כלשהו (מאוחר יותר נראה שמדובר בקבוע פלנק). אמרנו כבר ש- $\ E_{max}$ היא אפינית, ונקבע: $\ a=h,b=-W$, כלומר: $\ E_{max}=h\nu -W$.

ברגע שהאלקטרון עוצר את תנועתו הא"ק שווה לא"פ בכיוון הנגדי, כלומר מתקיים:

$\ {\frac {1}{2}}mv^{2}=eV_{0}=h\nu -W\Rightarrow V_{0}={\frac {h\nu }{e}}-{\frac {W}{e}}$

ההסבר הקלאסי לניסוי

ננסה להסביר לפי הידוע לנו בתורה א"מ (אלקטרו מגנטית):
נתון גל מישור כללי: $\ {\vec {E}}=E_{0}cos\left({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t\right)$
אנרגיה א"מ ביחידת נפח: $\ u={\frac {1}{2}}\varepsilon E^{2}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}I$ (כאשר $\ I$ = עוצמת האור).
הממוצע בזמן של $\ I$ אינו תלוי בזמן $\ \Leftarrow$ לא תלוי בתדירות הגל $\ \omega$. ושוב, ברגע "הקריטי" (שבו האלקטרון נעצר), נקבל: נפח* $\ {\frac {1}{2}}mv^{2}=eV_{0}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}I$ $\ V_{0}={\frac {1}{2e}}\varepsilon _{0}I\Leftarrow$ - וזה בניגוד לתוצאות הניסוי של מיליקאן, בו קיבלנו, כזכור: $\ eV_{0}=h\nu -W=h{\frac {\omega }{2\pi }}-W$.

הרעיון של איינשטיין

הרעיון שהגה איינשטיין בשנת 1905 היה: לפעמים, לאור יש התנהגות חלקיקית!
ניתן לתאר אור באמצעות סקלר: $\ \nu$ = תדירות. ואז, האור יוגדר באופן הבא: $\ E=h\nu$ (=אנרגית החלקיק), כאשר $\ h$ = קבוע פלנק, שהוא בדיוק מה שחיפשנו קודם - קבוע בסיסי של הטבע המקשר, במידה מסויימת, בין מכניקה (חלקיק) לבין התורה הא"מ (גל).
כעת, אנו מניחים שניתן לרשום את $\ h\nu$ כאנרגית חלקיק האור שיקרא, לצורך העניין, "פוטון". זוהי אנרגית החלקיק באופן כללי, בפרט זוהי האנרגיה שלו בניסוי התא הפוטו אלקטרי (במקום: נפח * $\ {\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}I$). אז עבור ניסוי זה, נקבל:$\ \underbrace {h\nu } _{*}=\underbrace {eV_{0}} _{**}+\underbrace {W} _{***}$
כאשר: * = אנרגית הפוטון, ** = א"ק של האלקטרון, *** = פונקצית העבודה של המתכת. תוצאה זו מסתדרת מצויין עם תוצאת ניסוי מיליקאן, ומכאן נקבל:

$\ h=6.62\cdot 10^{-34}J\cdot Sec$

פיתוח הרעיון

אמרנו קודם, ש- $\ {\vec {k}},w$ מאפיינים את הגל בתורה הא"מ, וש- $\ {\vec {p}},E$ מאפיינים את החלקיק במכניקה הקלאסית. הקבוע החדש $\ h$ נתן לנו קשר כלשהו בין $\ E$ לבין $\ W$. האם נוכל, באותה צורה, למצוא קשר בין $\ {\vec {p}}$ ובין $\ {\vec {k}}$, וכך להגדיר תנע עבור הפוטון?
כיאה לפיזיקאים, נבחן מהו היחידות של הגודל החדש $\ h$: אנרגיה $\ \times$ זמן $\ \left[h\right]=$.

• נראה האם הוא יצליח לקשר עבורינו בין $\ {\vec {p}}$ לבין $\ {\vec {k}}$: נבחן את היחידות שלהם: (מסה = mass, אורך = length, זמן = time):

$\ {\frac {\left[p\right]}{\left[k\right]}}=\underbrace {mass\times {\frac {length}{time}}} _{p}\underbrace {\times {\frac {1}{\frac {1}{length}}}} _{k}={\frac {mass\times length^{2}}{time}}=$

$\ =\underbrace {\frac {mass\times length^{2}}{time^{2}}} _{mv^{2}=Energy}\times time$
והצלחנו לקשר ביניהם באמצעות הקבוע החדש $\ h$. נסמן: $\ \hbar ={\frac {h}{2\pi }}$, ואז נוכל לקבל את הקשרים:

$\ E=\hbar \omega ,\ {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$.

מסת הפוטון?

אנו כבר יודעים שהפוטון הוא חלקיק חסר מסה, אבל כרגע אנו עוסקים בדואליות שיש בין גל ובין חלקיק. העלינו קודם את הטענה שהחלקיק מתאר גל א"מ, שהוא, כידוע, תופעה יחסותית, לכן נתייחס לפוטון כאל חלקיק יחסותי.

• ממכניקה יחסותית אנו יודעים שאנרגית חלקיק יחסותי נתונה ע"י:

$\ E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}=\hbar ^{2}\omega ^{2}$
$\ \left(\hbar k\right)^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}=\left(\hbar \omega \right)^{2}$

נזכור שמתקיים: $\ \omega =ck$. ואז נקבל: $\ \left(\hbar {\frac {\omega }{c}}\right)^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}=\left(\hbar \omega \right)^{2}$ $\ m_{0}=0\Leftarrow$
וקיבלנו: מסת המנוחה של הפוטון הינה אפס.

• נרצה כעת למצוא את מהירות הפוטון:
  

נזכור שחלקיק יחסותי מקיים: $\ E={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}$, $\ {\vec {p}}={\frac {m_{0}{\vec {u}}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}$, $\ m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}$
האנרגיה $\ E$ היא סופית, כלומר $\ {\frac {E}{c^{2}}}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}$ גודל סופי. ובנוסף מתקיים: $\ m_{0}=0$

$\ \Rightarrow 1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}=0\Rightarrow u=c$

ומכיוון שאמרנו קודם שמתקיים: $\ E=\hbar \omega$, הרי שנקבל:
$\ {\frac {E}{c^{2}}}=m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {\hbar \omega }{c^{2}}}\Rightarrow m={\frac {\hbar \omega }{c^{2}}}$ שזו המסה היחסותית של הפוטון.
ובכך הגדרנו את הפוטון באופן מלא:

מסה במנוחה:	$\ m_{0}=0$
אנרגיה:	$\ E=\hbar \omega$
תנע:	$\ {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$
מהירות:	$\ c$

• הערה חשובה: פוטון אינו חלקיק חומרי, מוחשי או ממשי!

עמוד ראשי: פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס

ההרצאה הבאה: הרצאה מספר 2