מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/זהויות

תוכן עניינים

זהות טריגונומטרית היא שוויון בהקשר של פונקציות טריגונומטריות. תזכורת: לכל פונקציה טריגונומטרית יש מחזור מסוים - כלומר שאחרי שהיא השלימה מחזור היא חוזרת על עצמה. כך למשל, לפונקציות הסינוס ($\sin$) והקוסינוס ($\cos$) יש מחזור של 360° מעלות, לעומת פונקציות הטנגנס ($\tan$) והקוטנגנס ($\cot$) שלהן מחזור של 180° מעלות. כלומר, אם $\sin(\alpha )=x$ אז גם $\sin(\alpha +360^{\circ }k)=x$ עבור כל $k$ שלם. באופן דומה: אם $\cos(\alpha )=x$ אז גם $\cos(\alpha +360^{\circ })=x$ . אם $\tan(\alpha )=x$ אז גם $\tan(\alpha +180^{\circ })=x$ . אם $\cot(\alpha )=x$ אז גם $\cot(\alpha +180^{\circ })=x$ . בין שתי הפונקציות הבסיסיות (סינוס, קוסינוס) קיים קשר חשוב שמתקיים לכל זוית:$\sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1$ . ניתן להוכיח אותו על-ידי בניית משולש ישר-זוית שהיתר שלו הוא רדיוס מעגל היחידה. כך שני הניצבים מקבלים את הערכים $\sin(\alpha )$ ו- $\cos(\alpha )$ , ובאמצעות משפט פיתגורס מקבלים את הזהות שלעיל. ראשי פרקים רשימת זהויות שימוש בזהויות אוסף דוגמאות הוכחת זהויות $\sin(90^{\circ }-\alpha )=\cos(\alpha )$ $\cos(90^{\circ }-\alpha )=\sin(\alpha )$ $\tan(90^{\circ }-\alpha )=\cot(\alpha )$ $\cot(\alpha )={\frac {1}{\tan(\alpha )}}$ $\tan(\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}$ $\cot(\alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}$ $\sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1$ $1+\tan ^{2}(\alpha )={\frac {1}{\cos ^{2}(\alpha )}}$ $1+\cot ^{2}(\alpha )={\frac {1}{\sin ^{2}(\alpha )}}$ $\sin(\alpha )=\sin(\alpha +360^{\circ })$ $\sin(180^{\circ }-\alpha )=\sin(\alpha )$ $\sin(-\alpha )=-\sin(\alpha )$ $\cos(\alpha )=\cos(\alpha +360^{\circ })$ $\cos(180^{\circ }-\alpha )=-\cos(\alpha )$ $\cos(-\alpha )=\cos(\alpha )$ זווית כפולה $cos({\frac {\pi }{2}}+\alpha )=sin\alpha$ דפי עזר והדרכה דפי נוסחאות