מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/זהויות/רשימת זהויות
מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
<
מתמטיקה תיכונית
|
טריגונומטריה
|
זהויות
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
מקרא
* צבע כחול - הזהות רשומה ב
דף הנוסחאות
של הבגרות.
אדום - זהות שימושית ביותר
תוכן עניינים
1
רשימת זהויות עבור פונקצית הסינוס
2
רשימת זהויות עבור הפונקציה קוסינוס
3
רשימת זהויות עבור הפונקציה טנגנס
4
מעברים (ומשפט פתגורס)
4.1
משפט פתגורס
5
סכום והפרש זויות
6
זוית כפולה
7
מחצית זוית
8
מעבר מסכום/הפרש פונקציות למכפלת פונקציות
9
מעבר ממכפלת פונקציות לסכום/הפרש פונקציות
רשימת זהויות עבור פונקצית הסינוס
[
עריכה
]
sin
(
−
α
)
=
−
sin
(
α
)
{\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin(\alpha )}
sin
(
180
∘
−
α
)
=
sin
(
α
)
{\displaystyle \sin(180^{\circ }-\alpha )=\sin(\alpha )}
רשימת זהויות עבור הפונקציה קוסינוס
[
עריכה
]
cos
(
α
)
=
cos
(
α
+
360
∘
)
{\displaystyle \cos(\alpha )=\cos(\alpha +360^{\circ })}
cos
(
180
∘
−
α
)
=
−
cos
(
α
)
{\displaystyle \cos(180^{\circ }-\alpha )=-\cos(\alpha )}
cos
(
−
α
)
=
cos
(
α
)
{\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos(\alpha )}
רשימת זהויות עבור הפונקציה טנגנס
[
עריכה
]
tan
(
180
∘
+
α
)
=
tan
(
α
)
{\displaystyle \tan(180^{\circ }+\alpha )=\tan(\alpha )}
tan
(
180
∘
−
α
)
=
−
tan
(
α
)
{\displaystyle \tan(180^{\circ }-\alpha )=-\tan(\alpha )}
tan
(
−
α
)
=
−
tan
(
α
)
{\displaystyle \tan(-\alpha )=-\tan(\alpha )}
מעברים (ומשפט פתגורס)
[
עריכה
]
sin
(
α
)
=
cos
(
90
∘
−
α
)
{\displaystyle \sin(\alpha )=\cos(90^{\circ }-\alpha )}
cos
(
α
)
=
sin
(
90
∘
−
α
)
{\displaystyle \cos(\alpha )=\sin(90^{\circ }-\alpha )}
cot
(
α
)
=
tan
(
90
∘
−
α
)
{\displaystyle \cot(\alpha )=\tan(90^{\circ }-\alpha )}
cot
(
α
)
=
cos
(
α
)
sin
(
α
)
{\displaystyle \cot(\alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}}
tan
(
α
)
=
sin
(
α
)
cos
(
α
)
=
1
cot
(
α
)
{\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}={\frac {1}{\cot(\alpha )}}}
משפט פתגורס
[
עריכה
]
sin
2
(
α
)
+
cos
2
(
α
)
=
1
{\displaystyle \color {red}\sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1}
1
+
tan
2
(
α
)
=
1
cos
2
(
α
)
{\displaystyle 1+\tan ^{2}(\alpha )={\frac {1}{\cos ^{2}(\alpha )}}}
1
+
cot
2
(
α
)
=
1
sin
2
(
α
)
{\displaystyle 1+\cot ^{2}(\alpha )={\frac {1}{\sin ^{2}(\alpha )}}}
סכום והפרש זויות
[
עריכה
]
sin
(
α
±
β
)
=
sin
(
α
)
⋅
cos
(
β
)
±
cos
(
α
)
⋅
sin
(
β
)
{\displaystyle \color {blue}\sin(\alpha \pm \beta )=\sin(\alpha )\cdot \cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\cdot \sin(\beta )}
cos
(
α
±
β
)
=
cos
(
α
)
⋅
cos
(
β
)
∓
sin
(
α
)
⋅
sin
(
β
)
{\displaystyle \color {blue}\cos(\alpha \pm \beta )=\cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\mp \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )}
tan
(
α
±
β
)
=
tan
(
α
)
±
tan
(
β
)
1
∓
tan
(
α
)
⋅
tan
(
β
)
{\displaystyle \color {blue}\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\cdot \tan(\beta )}}}
זוית כפולה
[
עריכה
]
sin
(
2
α
)
=
2
sin
(
α
)
⋅
cos
(
α
)
{\displaystyle \color {red}\sin(2\alpha )=2\,\sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )}
cos
(
2
α
)
=
cos
2
(
α
)
−
sin
2
(
α
)
=
2
cos
2
(
α
)
−
1
=
1
−
2
sin
2
(
α
)
{\displaystyle \color {red}\cos(2\alpha )=\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )=2\cos ^{2}(\alpha )-1=1-2\sin ^{2}(\alpha )}
tan
(
2
α
)
=
2
tan
(
α
)
1
−
tan
2
(
α
)
{\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {2\tan(\alpha )}{1-\tan ^{2}(\alpha )}}}
מחצית זוית
[
עריכה
]
sin
(
α
2
)
=
±
1
−
cos
(
α
)
2
{\displaystyle \color {blue}\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos(\alpha )}{2}}}}
cos
(
α
2
)
=
±
1
+
cos
(
α
)
2
{\displaystyle \color {blue}\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos(\alpha )}{2}}}}
tan
(
α
2
)
=
±
1
−
cos
(
α
)
1
+
cos
(
α
)
=
sin
(
α
)
1
+
cos
(
α
)
=
1
−
cos
(
α
)
sin
(
α
)
{\displaystyle {\color {blue}\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos(\alpha )}{1+\cos(\alpha )}}}}={\frac {\sin(\alpha )}{1+\cos(\alpha )}}={\frac {1-\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}}
מעבר מסכום/הפרש פונקציות למכפלת פונקציות
[
עריכה
]
sin
(
α
)
±
sin
(
β
)
=
2
sin
(
α
±
β
2
)
⋅
cos
(
α
∓
β
2
)
{\displaystyle \color {blue}\sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\,\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right)}
cos
(
α
)
+
cos
(
β
)
=
2
cos
(
α
+
β
2
)
⋅
cos
(
α
−
β
2
)
{\displaystyle \color {blue}\cos(\alpha )+\cos(\beta )=2\,\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
cos
(
α
)
−
cos
(
β
)
=
−
2
sin
(
α
+
β
2
)
⋅
sin
(
α
−
β
2
)
{\displaystyle \color {blue}\cos(\alpha )-\cos(\beta )=-2\,\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
מעבר ממכפלת פונקציות לסכום/הפרש פונקציות
[
עריכה
]
sin
(
α
)
⋅
sin
(
β
)
=
cos
(
α
−
β
)
−
cos
(
α
+
β
)
2
{\displaystyle \sin(\alpha )\cdot \sin(\beta )={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}
cos
(
α
)
⋅
cos
(
β
)
=
cos
(
α
−
β
)
+
cos
(
α
+
β
)
2
{\displaystyle \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}}
sin
(
α
)
⋅
cos
(
β
)
=
sin
(
α
+
β
)
+
sin
(
α
−
β
)
2
{\displaystyle \sin(\alpha )\cdot \cos(\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}}
קטגוריה
:
טריגונומטריה לתיכון
תפריט ניווט
כלים אישיים
לא בחשבון
שיחה
תרומות
יצירת חשבון
כניסה לחשבון
מרחבי שם
דף
שיחה
עברית
צפיות
קריאה
עריכה
גרסאות קודמות
עוד
ניווט
עמוד ראשי
ברוכים הבאים
שינויים אחרונים
דף אקראי
תרומה לוויקיספר
קהילה
שער הקהילה
עזרה
מזנון
דלפק ייעוץ
כלים
דפים המקושרים לכאן
שינויים בדפים המקושרים
דפים מיוחדים
קישור קבוע
מידע על הדף
ציטוט הדף הזה
הדפסה/יצוא
יצירת ספר
הורדה כ־PDF
גרסה להדפסה
דף זה בשפות אחרות
הוספת קישורים