מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/זהויות/רשימת זהויות/7

הוכחה באמצעות מעגל היחידה

על פי נוסחת המעגל הקנוני $x^{2}+y^{2}=1$. הראנו בפרקים של הגדרה פשוטה של פונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה כי פונקצית הסינוס מייצג את ציר ה-$x$ ואילו פונקצית הסינוס את ציר ה-$y$ לכן נוכל להציב במשוואה את הערכים ולקבל את הזהות, $\cos ^{2}+\sin ^{2}=1$

הוכחה באמצעות משולש ישר זוויות

${\begin{aligned}\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\\\sin \alpha ={\frac {a}{c}}\\(\sin \alpha )^{2}=({\frac {a}{c}})^{2}={\frac {a^{2}}{c^{2}}}\\\cos \alpha ={\frac {b}{c}}\\\downarrow \\(\cos \alpha )^{2}=({\frac {b}{c}})^{2}={\frac {b^{2}}{c^{2}}}\\(\sin \alpha )^{2}+(\cos \alpha )^{2}={\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}\\\downarrow \\a^{2}+b^{2}=c^{2}\\(\sin \alpha )^{2}+(\cos \alpha )^{2}={\frac {c^{2}}{c^{2}}}=1\\\sin ^{2}\alpha =(\sin \alpha )^{2}\\\downarrow \\\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\\or\\\cos ^{2}\alpha =1-\sin ^{2}\alpha \\or\\\sin ^{2}\alpha =1-\cos ^{2}\alpha \\\end{aligned}}$