מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/זהויות/רשימת זהויות/7

הוכחה באמצעות מעגל היחידה

על פי נוסחת המעגל הקנוני $x^{2}+y^{2}=1$. הראנו בפרקים של הגדרה פשוטה של פונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה כי פונקצית הסינוס מייצג את ציר ה-$x$ ואילו פונקצית הסינוס את ציר ה-$y$ לכן נוכל להציב במשוואה את הערכים ולקבל את הזהות, $cos^{2}+sin^{2}=1$

הוכחה באמצעות משולש ישר זוויות

${\begin{aligned}sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1\\sin\alpha ={\frac {a}{c}}\\(sin\alpha )^{2}=({\frac {a}{c}})^{2}={\frac {a^{2}}{c^{2}}}\\cos\alpha ={\frac {b}{c}}\\\downarrow \\(cos\alpha )^{2}=({\frac {b}{c}})^{2}={\frac {b^{2}}{c^{2}}}\\(sin\alpha )^{2}+(cos\alpha )^{2}={\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}\\\downarrow \\a^{2}+b^{2}=c^{2}\\(sin\alpha )^{2}+(cos\alpha )^{2}={\frac {c^{2}}{c^{2}}}=1\\sin^{2}\alpha =(sin\alpha )^{2}\\\downarrow \\sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1\\or\\cos^{2}\alpha =1-sin^{2}\alpha \\or\\sin^{2}\alpha =1-cos^{2}\alpha \\\end{aligned}}$