מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/מבוא לקבוצות

הגדרה

קבוצה הנה אוסף של אברים. בתורת הקבוצות, "אברים" יכולים להיות מכל סוג שהוא - סוסים, מרצפות, אטבים, שתילים, עגבניות, חייזרים ועוד ועוד כיד בדמיון הטובה עלינו. בקורס זה, "קבוצה" תהיה עבורנו אוסף של מספרים, ומספרים בלבד.

סימון

קבוצה תסומן תמיד באות לטינית גדולה, ואבריה יירשמו בתוך סוגריים מסולסלות {}. יש לציין כי סימון קבוצה שקול להגדרתה (כלומר, אם נרצה להגדיר קבוצה מסוימת, מספיק לרשום או לסמן אותה באחת מהדרכים שנראה מיד) ישנן כמה דרכים בהן ניתן לכתוב את אברי הקבוצה בתוך הסוגריים. אנו נתבונן בשלוש הנפוצות:

• רשימה מפורשת של כל האברים שבה, מופרדים באמצעות פסיקים. דוגמא: נתונה הקבוצה $A$ המכילה את האברים הבאים: $3,4,5,7$ . אזי נוכל לכתוב את $A$ באופן הבא:

$A=\{3,4,5,7\}$

• איפיון של אברי הקבוצה: במקרה זה קבוצה זו מכילה את כל האברים בעולם בעלי איפיון זה. דוגמה: הקבוצה $B$ מכילה את כל המספרים הראשונים הקטנים מ- $17$ . נסמן $P$ = כל המספרים הראשוניים, ואז נרשום:

$B=\{p\in P|p<17\}$

• • הביטוי $p\in P$ פירושו, כזכור, שהאבר $p$ שייך לקבוצה $P$ .
  • הביטוי $|$ פירושו "כך ש" ולפעמים נכתוב במקומו נקודתיים
  • הביטוי $\ p<17$ הוא התנאי, אותו חייב לקיים כל אבר בקבוצה $B$ ; במקרה זה כל אבר בקבוצה חייב להיות קטן מ-17.
  • כמו כן, כל מספר ראשוני הקטן מ-17 נמצא בקבוצה $B$ . כלומר את התנאי שלנו מקיים כל אבר בקבוצה $B$ , וכל אבר בעולם שמקיים את התנאי - נמצא בקבוצה $B$ . (משפט זה חשוב מאוד - קראו אותו שוב והיו בטוחים שהבנתם את משמעותו!)
• רשימה מפורשת של אברים, בדרך מקוצרת. דוגמא: נתונה הקבוצה $G$ המכילה $n$ אברים שונים $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}$ (כלומר האברים $x$ בעלי אינדקס 1, 2 וכו' עד האינדקס $n$ . נוסיף ונציין כי איננו יודעים מהו ערכו של המספר $n$ , ולכן לא נוכל לרשום במפורש את כל אברי הקבוצה $G$) אזי, במקום לכתוב במפורש $G=\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}\}$ נוכל לרשום את הקבוצה באופן הבא:

$G=\{x_{k}\}_{k=1}^{n}$

קבוצות מיוחדות

ישנן כמה קבוצות של מספרים שהן חשובות מאוד. קבוצות אלה זכו לסימונים מיוחדים:

קבוצת המספרים הטבעיים

סימונה של קבוצת המספרים הטבעיים הוא $\mathbb {N}$ (מלשון Natural), והיא מכילה את כל המספרים השלמים האי-שליליים, כלומר את המספרים: $1,2,3,4$ וכן הלאה. מספרים אלה נקראים "טבעיים" משום שעצמים שלמים אי-שליליים מצויים בטבע בשפע - עץ אחד, סוס אחד וכו'.

• ישנה אסכולה הכוללת גם את המספר $0$ במספרים הטבעיים. אנחנו, כאמור, נכלול בקבוצה זו את המספרים החיוביים בלבד.
• בסימוני תורת הקבוצות שלמדנו למעלה, נוכל לכתוב את הקבוצה $\mathbb {N}$ באופן הבא:

$\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$

• מספר השייך לקבוצת המספרים הטבעיים נקרא "מספר טבעי".

קבוצת המספרים השלמים

סימונה של קבוצת המספרים השלמים הוא $\mathbb {Z}$ (מלשון Zahl - מספר בגרמנית, או Zählend שפירושו בגרמנית ספִירה), והיא מכילה את כל המספרים השלמים, כלומר: את $0,1,2,3,4$ וכו', אבל גם את $-1,-2,-3,-4$ וכו'. בסימוני תורת הקבוצות שלמדנו למעלה, נוכל לרשום את הקבוצה $\mathbb {Z}$ באופן הבא:

$\mathbb {Z} =\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3\ldots \}$

• מאוחר יותר, כשנלמד סימן נוסף, נכיר דרך נוספת בה נוכל לרשום את $\mathbb {Z}$ .

• מספר השייך לקבוצת המספרים השלמים נקרא "מספר שלם".

קבוצת המספרים הרציונליים

סימונה של קבוצת המספרים הרציונליים הוא $\mathbb {Q}$ (מלשון Quotient - מנה), והיא מכילה את כל השברים מהצורה ${\frac {p}{q}}$ , כאשר $p,q$ הנם מספרים שלמים (כלומר מספרים השייכים לקבוצה $\mathbb {Z}$ ) ו- $q$ שונה מ-0. בסימוני תורת הקבוצות, נוכל לכתוב את הקבוצה $\mathbb {Q}$ באופן הבא:

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {p}{q}}{\bigg |}p,q\in \mathbb {Z} ,q\neq 0\right\}$

• במקרה זה, כפי שנאמר למעלה, המספרים $p,q$ צריכים למלא שני תנאים: גם להיות אברים בקבוצה $\mathbb {Z}$ וגם $q$ צריך להיות שונה מ-0. מאוחר יותר, נכיר את הכמת "וגם". כרגע נסתפק בפסיק בין התנאים.
• שמה הלטיני של הקבוצה - Quotient - נובע מהעובדה שכל אבר בקבוצה (כלומר, כל מספר בה) הוא תוצאת חילוק, היינו מנה.
• מספר השייך לקבוצת המספרים הרציונליים נקרא "מספר רציונלי".

קבוצת המספרים הממשיים

סימונה של קבוצת המספרים הממשיים הוא $\mathbb {R}$ (מלשון Real). קשה להגדיר קבוצה זו בצורה פשוטה, אך ניתן לחשוב עליה אינטואיטיבית כקבוצת כל המספרים שנמצאים על הקו הישר שעליו נמצאים כל המספרים השלמים. מאוחר יותר, נראה שהמספרים הממשיים הם למעשה גבולות של כל הסדרות המתכנסות האפשריות שאבריהן הם מספרים רציונליים, מה שנקרא "סדרות קושי". ישנה דרך נוספת להגדיר את המספרים הממשיים, זאת באמצעות עצמים מתמטיים אחרים הנקראים "חתכי דדקינד" ויוצגו בהמשך. כרגע, נקרא להם פשוט "כל המספרים".

• בקורס זה, קבוצת המספרים הממשיים היא הקבוצה בה נתעסק.
• מספר השייך לקבוצת המספרים הממשיים נקרא "מספר ממשי".

קבוצת המספרים המרוכבים

סימונה של קבוצת המספרים המרוכבים (מדומים) הוא $\mathbb {C}$ (מלשון Complex), ולצורך הגדרתה עלינו להגדיר "מספר" חדש: נסמן: $i={\sqrt {-1}}$ , ואז נוכל לכתוב את הקבוצה $\mathbb {C}$ באופן הבא:

$\mathbb {C} ={\Big \{}a+bi{\Big |}a,b\in \mathbb {R} {\Big \}}$

• במילים: הקבוצה $\mathbb {C}$ מכילה את כל המספרים מהצורה $a+bi$ , כאשר $a,b$ הנם מספרים ממשיים, כלומר מספרים השייכים לקבוצה $\mathbb {R}$ .
• שמה הלטיני של הקבוצה - Complex - כמו גם כינויה "קבוצת המרוכבים", נובע מכך שאבר כללי בה מורכב משני אברים: אחד המכיל את $i$ , ואחד שלא מכיל את $i$ . השם "מדומים" מגיע מהעובדה שהמספר ${\sqrt {-1}}$ הוא מספר שאינו קיים במציאות, אלא מספר שאנו נעזרים בו לצורך חישובים בלבד. בקורס זה, לא נתעסק עם מספרים מדומים כלל.
• מספר השייך לקבוצת המספרים המרוכבים (מדומים) נקרא "מספר מדומה (מרוכב)".

הקבוצה הריקה

סימונה של הקבוצה הריקה הוא $\varnothing$ , וכשמה כן היא - ריקה, כלומר אינה מכילה אף אבר. למעשה, נוכל לומר שמתקיים: $\forall x,x\not \in \varnothing$ . כלומר: לכל איבר $x$ שהוא, $x$ אינו שייך לקבוצה הריקה. בהמשך הקורס נלמד להבין את חשיבותה של קבוצה זו (וכמובן, גם בקורס תורת הקבוצות).

קבוצת הממשיים החיוביים

עבור הקבוצה $\mathbb {R}$ מגדירים לפעמים את תת-הקבוצה $\mathbb {R} ^{+}$ , המכילה את כל המספרים החיוביים ב- $\mathbb {R}$ . כלומר: $\mathbb {R} ^{+}={\big \{}x\in \mathbb {R} |x>0{\big \}}$

הפרק הקודם: ניסוחים במתמטיקה והסבר להם

מבוא לקבוצות

הפרק הבא: הגדרות וסימונים נוספים