מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/המושגים היסודיים בלימוד המתמטיקה

במסגרת לימודי המתמטיקה באוניברסיטה, העיסוק המרכזי יהיה בפיתוח תורות מתמטיות, המבוססות על מספר מועט ככל הניתן של הנחות יסוד, והסקת כמה שיותר מסקנות מהן. הנחות היסוד עליהן מתבסס כל ענף מכונות "הגדרות", "שמות", "סימנים" (מתמטיים) ו"אקסיומות". את המסקנות המתקבלות מתוך אלו ומתוך כללי ההיסק המותרים נהוג לכנות "משפטים" ו"למות". בפרק זה נסביר על מהותו של כל מושג.

הגדרה

השלב הראשון בפיתוח תאוריה יהיה הגדרת הגדרות מתאימות. ה"הגדרה" היא למעשה תהליך שבו ניתן שם מתמטי לעובדה מסויימת, קבוצה מסוימת או תכונה מסוימת. ההגדרות הראשוניות תנוסחנה בשפת היום יום כלומר בעברית (או שפה מדוברת אחרת בה כותבים) בשימוש בסימנים מתמטיים מוכרים מהעבר כמו מספרים, סימני החשבון הפשוטים וכו'. לדוגמא:

הגדרה: נאמר שמספר חיובי שלם $n$ מתחלק במספר חיובי שלם $m$ אם קיים מספר חיובי שלם $k$ עבורו $m\times k=n$ .

שימו לב לפרטים הבאים:

• הגדרה זו הסבירה מהי מהות המילה "מתחלק". יתכן שקודם הקורא הכיר משמעות אחרת למילה "מתחלק" וכעת עליו לאמץ את המשמעות שנכתבה כאן בקריאת הטקסט.
• כאן הודגשה המילה "מתחלק" אך לא תמיד יהיה זה כך ולפעמים יהיה על הקורא להבין מהו המושג החדש אותו מגדירים. לרב לשם נוחות ההגדרה תפתח במילה אותה מגדירים.
• ההגדרה השתמשה במילים בעיברית, באותיות הלועזיות $n,m,k$ ובסימן $\times$ . ההנחה הייתה כי הקורא מכיר את סימן הכפל ומבין את המשמעות של השימוש במשתנים המסומנים באותיות לועזיות כתחליף למספרים שלמים. כמו כן הניחו כי הקורא מכיר את המושגים "מספר חיובי" ו"מספר שלם" ואפילו את המושג "מספר". לעיתים קרובות כך יעשה, ואם אתם לא מבינים משמעות של מילה מסויימת רצוי ונהוג לבקש הגדרה פשוטה יותר למשל:

הגדרה: מספר חיובי הוא מספר הגדול מאפס.

בשלב מאוחר יותר, כאשר הוגדרו מספר הגדרות ניתן לבסס עליהן הגדרות מסובכות יותר:

הגדרה: מספר ראשוני הוא מספר המתחלק רק בעצמו וב-1 ולא באף מספר אחר.

כללים עליהם יש לשמור בעת כתיבת הגדרה חדשה

בהירות

ההגדרה חייבת להיות ברורה, להשתמש במושגים ברורים ומוכרים. ההגדרה הבאה אינה טובה:

הגדרה: קבוצה גדולה היא קבוצה המכילה רק מספרים גדולים.

כי למשל איננו יודעים מהו "מספר גדול". אם נגדיר קודם לכן:

הגדרה: מספר גדול הוא מספר הגדול מ-10.

הרי שההגדרה תהיה תקפה.

איסור שימוש בהגדרה עצמית

אסור להשתמש בהגדרה במילה אותה מגדירים. לכן, ההגדרה הבא אינה טובה:

הגדרה: קופי שימפנזה הנם קופים המשתייכים למין השימפנזה.

משפט

לאחר שקבענו הגדרות, נרצה לפתח אותן, ולהגיע למסקנות ושימושים מהן. המסקנות הללו יכתבו בצורה של "משפטים", "טענות" ו"לֶמות".

כתיבת ה"משפט" תחולק לשני שלבים. השלב הראשון הוא שלב הניסוח, בו יוסבר מה רוצים להוכיח. השלב השני הוא שלב ההוכחה, בו ינותח הניסוח בכלים מתמטיים שונים אשר יביאו (בתקווה) למסקנה חד משמעית בקשר לנכונות המשפט. על שלב ההוכחה ושיטות הוכחה נדבר בפרק "כלי הוכחה מתמטיים". נציין כאן רק, שבעוד שלב הניסוח הוא בד"כ קצר (מספר בודד של שורות), שלב ההוכחה יכול להיות ארוך ביותר, כך שלעתים דרושים ספרים שלמים להוכחת משפט המנוסח בשורה אחת. לעתים שלב ההוכחה הוא כל כך ארוך, כך שכאשר נילמד משפט מסוים בקורס, הוא ניתן ללא הוכחה כלל או עם הוכחה שאינה מלאה, כלומר הוכחה שאינה נכונה למעשה. על הסטודנטים לדעת לקבל משפטים כאלו בד"כ כנתון, ולהטמיע בעצמם את השימוש בהם בלי שהם מבינים את הוכחתם המלאה.

שלב הניסוח עצמו, מתחלק גם הוא לשני תת-שלבים. ראשית ניתנים התנאים המקדימים למשפט, כלומר הסבר לגבי מתי המשפט תקף, ועל מי ומה הוא חל. שנית מובאות המסקנות הנובעות מן המשפט. לאורך כל הניסוח, חשוב להשתמש אך ורק בהגדרות מוכרות וידועות. לעתים אין תנאים מוקדמים למשפט ואז כמובן יהיה רק החלק השני.

דוגמא

משפט: אם $n$ מספר זוגי גדול מ-2 אזי $n$ אינו ראשוני.

כאן התנאי המקדים הוא: "$n$ מספר זוגי גדול מ-2", והמסקנה היא "$n$ אינו ראשוני". כאן השתמשנו בהגדרה "ראשוני" אשר הוגדרה בסעיף הקודם.

כעת צריכה לבוא הוכחה, וכאמור באופן ההוכחה נעסוק בהמשך.

איך משתמשים במשפט

כאשר רוצים להשתמש במשפט, בד"כ בפתרון תרגילים, או בכדי להוכיח משפט נוסף, חשוב מאוד לוודא שכל תנאיו מתקיימים.

לדוגמא: "הוכח כי 24 אינו מספר ראשוני". יכולנו להשתמש בהגדרת "המספר הראשוני" ולהגיד שכיוון ש-24 מתחלק ב-6 הוא אינו ראשוני. אך אנו רוצים להשתמש במשפט ועל כן נגיד: "24 הוא זוגי וגדול מ-2 ולכן ע"פ המשפט לעיל הוא אינו ראשוני".

שימו לב: ראשית הוכחנו את קיום כל תנאי המשפט -24 הוא זוגי וגם 24 גדול מ-2. כעת מותר לנו להסיק את מסקנת המשפט - 24 אינו ראשוני.

לעתים נותנים למשפטים מספרים (בד"כ מונים את כל המשפטים בספר מסוים בזה אחר זה, ולמשפטים חשובים נותנים שמות. כאשר משתמשים במשפט רצוי לכתוב "ע"פ משפט ויירשטראס" או "ע"פ משפט 17 בפרק 5" כדי שיהיה ברור על איזה משפט מסתמכת ההוכחה.

אקסיומה

אקסיומה הנה משפט אשר לא ניתן להוכיח אותו והיא מתקבלת כאמיתה בסיסית.

האקסיומה, צריכה להיות מנוסחת לפי כללי המשפט שלמדנו קודם לכן רק שאין לה הוכחה. שימו לב שקיים הבדל מהותי בין אקסיומה לבין משפט אשר ניתן ללא הוכחה, כפי שתואר קודם.

בעוד שלמשפט שניתן ללא הוכחה קיימת הוכחה במקום כלשהו, גם אם הוא רחוק מעינו ומהבנתו של הסטודנט, הרי שאקסיומה היא עובדה המתקבלת בלי שניתן להוכיח אותה כלל.

למה וטענה

למה וטענה הנם משפטים מתמטיים לכל דבר ועניין. לרוב ניתנים השמות "למה" ו"טענה" עבור משפטים שלא נמצא להם ערך בפני עצמם, והם רק משמשים להוכחת משפטים גדולים יותר. כל הכללים שהוזכרו קודם לגבי משפט והוכחתו חלים גם כאן.

-

המושגים היסודיים בלימוד המתמטיקה

הפרק הבא: ניסוחים במתמטיקה והסבר להם