מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/הגדרות וסימונים נוספים

שייך ל...

אם נרצה לומר, שהאבר $x$ שייך לקבוצה $X$ , נוכל לרשום: $x\in X$ .

• גם סימן זה דומה לאות E הלטינית. קל לזכור שזהו הסימן לאלמנט בקבוצה אם נזכור כי אלמנט באנגלית הוא Element.

לא שייך ל...

באותה צורה כמו למעלה, אם נרצה לומר שהאבר $y$ אינו שייך לקבוצה $X$ , נרשום: $y\notin X$ .

פסוק

פסוק הנו עובדה, טענה או משפט, שיכולים להיות אמת או שקר. למשל: אם היום יום רביעי, נוכל לומר שהפסוק "היום יום רביעי" הוא פסוק אמת. לעומת זאת, אם היום יום רביעי, הפסוק "היום יום ראשון" הוא פסוק שקרי. בחשבון אינפיניטסימלי ובמתמטיקה בכלל, משתמשים לרוב במילה "טענה" במקום במילה "פסוק". לעתים, משתמשים במילה "משפט", שהוא במתמטיקה בעל משמעות יותר חזקה.

"מכיל את" (או "מוכל ב")

אם נרצה לומר, שהקבוצה $A$ מכילה את הקבוצה $B$ , או לחילופין - שהקבוצה $B$ מוכלת בתוך הקבוצה $A$ , נכתוב: $B\subseteq A$ או $A\supseteq B$ . למשל: נסמן (או נגדיר): $A=\{1,2,3,4\},B=\{1,2,3\}$ . ואז מתקיים: $B\subseteq A$ .

• במקרה כזה, נגיד כי $B$ היא תת־קבוצה של $A$ או קבוצה חלקית ל־$A$ .
• דרך אחרת להביע את $B\subseteq A$ , היא לכתוב: $\forall x\in B,x\in A$ (כלומר: כל אבר השייך לקבוצה $B$ שייך גם לקבוצה $A$).
• אם קיים אבר בקבוצה $A$ שאינו נמצא בקבוצה $B$ , נגיד שהקבוצה $B$ מוכלת ממש בקבוצה $A$ . נכתוב זאת בשפת תורת הקבוצות: $\exists x\in A|x\not \in B$ .

סימון להכלה ממש: $B\subset A$ . במקרה זה, נוכל לכתוב כי $A\not \subset B$ (כלומר $A$ אינה מוכלת ב־$B$).

• יש המסמנים הכלה בעזרת הסימון $B\subset A$ , ואילו הכלה ממש בעזרת $B\subsetneq A$. בקורס זה, נדבוק בסימונים שצויינו למעלה.
• קל לראות, שכל קבוצות המספרים שהוגדרו בסעיף הקודם מקיימות ביניהן את הקשר הבא:

$$\varnothing \subseteq \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$$

למעשה, בכל המקרים מדובר בהכלה ממש.

• עבור הקבוצה הריקה $\varnothing$ , מתקיים: לכל קבוצה $A$ , $\varnothing \subseteq A$
• לכל קבוצה $A$ מתקיים: $A\subseteq A$ (תכונת הרפלקסיביות).
• תכונת הטרנזיטיביות: אם $A\subseteq B$ וגם $B\subseteq C$ , אזי $A\subseteq C$ . אם נרצה להשתמש לגמרי בכתיב של תורת הקבוצות (כלומר בכתיב מתמטי), נכתוב:

$$(A\subseteq B\land B\subseteq C)\Rightarrow A\subseteq C$$

• חשוב מאוד להיזהר ולשים לב להבדלים שבין שייכות לבין הכלה! נתבונן, למשל, בדוגמא הבאה: $A=\{15,{\text{a cow}},12,78\}$ . במקרה זה, נכון לכתוב $12\in A$ , אבל לא נכון לכתוב $12\subseteq A$ ! לעומת זאת, מתקיים: $\varnothing \subseteq A$ (כי כל אבר של $\varnothing$ , באופן ריק, הוא גם אבר של $A$), אבל לא מתקיים $\varnothing \in A$ , (משום שהקבוצה $A$ אינה מכילה את האבר $\varnothing$).

דוגמא נוספת

נתונה הקבוצה $A={\bigl \{}1,2,\{2,3\},\{4,5\}{\bigr \}}$ . עבור כל אחד מהבאים, קבעו האם הוא אבר של $A$ או תת־קבוצה שלה. נמקו.
א. $2$ .
ב. $B={\bigl \{}\{2,3\}{\bigr \}}$
ג. $C=\{2,3\}$

פתרון

א. אם נתבונן בקבוצה $A$ נראה שהמספר $2$ מופיע בה ואינו חלק מתת-קבוצה שלה, לכן נוכל לכתוב: $2\in A$ .
ב. ראשית נשאל: מהי משמעות הסימון $\{\{2,3\}\}$ ? ונענה: קבוצה שמכילה את האבר $\{2,3\}$ , ורק אותו. נשים לב שגם הקבוצה $A$ מכילה אבר זה, כלומר - כל אבר שמכילה הקבוצה $B$ , מכילה גם הקבוצה $A$ . לכן, הקבוצה $B$ מוכלת בקבוצה $A$ , ונכתוב: $\{\{2,3\}\}\subseteq A$ . מאחר ומדובר בהכלה ממש (הקבוצה $A$ מכילה אברים שאינם מוכלים בקבוצה זו) נוכל לכתוב אפילו $\{\{2,3\}\}\subset A$ .
ג. הקבוצה $C=\{2,3\}$ הנה הקבוצה שמכילה את האברים $2,3$ . נתבונן בקבוצה $A$ : היא מכילה את הקבוצה $C$ כאבר, לכן מתקיים: $C=\{2,3\}\in A$ .

שלילה

ישנם שני סימונים אפשריים: $\neg$ או $\sim$ . למשל: לא נכון להגיד ש- $2<1$ , לכן הביטוי $\sim (2<1)$ נכון.

"וגם"

כל התנאים הרשומים מצידי הסימן $\land$ נכונים, או לחילופין - כולם צריכים להתמלא על-מנת שפסוק מסוים יהיה אמיתי. למשל: נניח שאדם רוצה לקנות ארטיק בטעם שוקו וגם ארטיק בטעם וניל. על-מנת שהאדם יוכל להגשים את רצונו, צריך שבקיוסק יהיה גם ארטיק בטעם שוקו וגם ארטיק בטעם וניל. במילים אחרות, צריך להתקיים:

• (בקיוסק יש ארטיק בטעם שוקו) $\land$ (בקיוסק יש ארטיק בטעם וניל).

"או"

מספיק שאחד התנאים הרשומים מאחד מצדדיו של סימן ה- $\lor$ יתקיימו על-מנת שפסוק כלשהו יהיה אמת, ואין זה משנה כלל אם מתקיים תנאי אחד או אם מתקיימים יותר. למשל: נניח שאדם רוצה לקנות ארטיק בטעם שוקו או ארטיק בטעם וניל. לשם כך, מספיק שיהיה בקיוסק אחד הארטיקים המבוקשים, ואין זה מפריע כלל אם שניהם נמצאים בקיוסק. כלומר, הדרישה מתמלאת בכל אחד מהמקרים הבאים:

• יש רק ארטיק בטעם שוקו בקיוסק.
• יש רק ארטיק בטעם וניל בקיוסק.
• יש גם ארטיק בטעם שוקו בקיוסק וגם ארטיק בטעם וניל.

נוכל לרשום את הדרישה באופן הבא:

• (בקיוסק יש ארטיק בטעם שוקו) $\lor$ (בקיוסק יש ארטיק בטעם וניל).

סכימה

נניח שנתונים לנו $n$ אברים $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}$ , ואנחנו רוצים למצוא את הסכום של כולם. אזי, נוכל לרשום זאת באופן הבא:

$\sum _{k=1}^{n}x_{k}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}$

• דוגמא: את הסכום של סדרה הנדסית בת $n+1$ אברים, שאברה הראשון $1$ וגורם המכפלה שלה הנו $q$ , ניתן לרשום באופן הבא:

$\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {q^{n+1}-1}{q-1}}$

• דוגמא נוספת: הבינום של ניוטון: $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$ , כאשר מגדירים: ${\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ .

מכפלה

נניח שנתונים לנו $n$ אברים $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}$ , ואנחנו רוצים לחשב את המכפלה של כולם. אזי, נוכל לרשום זאת באופן הבא:

$\prod _{k=1}^{n}x_{k}=x_{1}\times x_{2}\times x_{3}\times \dots \times x_{n}$ .

הגדרה

אמרנו כבר, שכדי להגדיר קבוצה מספיק לרשום אותה. אולם, לעתים נרצה להגדיר דברים אחרים - למשל, משתנים. נניח שאנו משתמשים הרבה בביטוי $\sin ^{2}(\alpha )\cos ^{5}(\beta )-15a+12\cot(\alpha )$ , ומעוניינים לחסוך לעצמנו את הטרחה שבכתיבת הביטוי שוב ושוב. על-מנת לעשות זאת, נוכל להגדיר משתנה חדש, שיסמן עבורינו את הביטוי הנ"ל. נניח שנקרא למשתנה החדש $x$ . נכתוב:

$x:=\sin ^{2}(\alpha )\cdot \cos ^{5}(\beta )-15a+12\cdot \cot(\alpha )$

או לחילופין: $x{\stackrel {\triangle }{=}}\sin ^{2}(\alpha )\cos ^{5}(\beta )-15a+12\cot(\alpha )$
או לחילופין: $x\equiv \sin ^{2}(\alpha )\cos ^{5}(\beta )-15a+12\cot(\alpha )$
כאשר המשמעות היא, כאמור: $x$ מוגדר להיות הביטוי הנ"ל. כלומר, בכל מקום שבו כתוב $x$ , עלינו להתנהג כאילו כתוב $\sin ^{2}(\alpha )\cos ^{5}(\beta )-15a+12\cot(\alpha )$ .

• הערה: הסימן $\equiv$ משמש גם לסימון זהות, לכן אנו נעדיף כאן את השימוש ב- $:=$ או ב- $x{\stackrel {\triangle }{=}}$ .

הפרק הקודם: מבוא לקבוצות

הגדרות וסימונים נוספים

הפרק הבא: אינדוקציה