מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/ניסוחים במתמטיקה והסבר להם

כפי שנכתב בפרק הקודם, התשתית של כל תורה מתמטית מבוסס על הגדרות ומשפטים. אלו מנוסחים בשפת היום יום ובצירוף סימנים מתמטיים מוכרים. עם זאת ישנם מספר מינוחים היחודיים לשפה המתמטית בהם משתמשים בניסוח כל הגדרה ומשפט, וחשוב מאוד להבין את המשמעות המדויקת של מילים מסוימות. בפרק זה נסקור מילים חשובות וביטויים חשובים בהם משתמשים מתמטיקאים.

מילים וביטויים שימושיים

לכל

נאמר לכל ונסמן $\forall$ , אם עובדה מסוימת מתקיימת תמיד עבור כל איבר מקבוצת ערכים מסוימת. אם לא מצוינת קבוצה, בד"כ הכוונה לקבוצת המספרים.

לדוגמא: "לכל מספר טבעי $n$ קיים מספר טבעי העוקב לו". את הביטוי "לכל $n$ טבעי" ניתן לכתוב כ- $\forall n\in \mathbb {N}$ .

קיים

נאמר קיים ונסמן $\exists$ , אם עובדה מסויימת מתרחשת עבור עצם אחד בעולם לפחות (כלומר יכולים להיות יותר מאחד). לדוגמא:

• "לכל מספר טבעי $n$ קיים מספר טבעי העוקב לו" - כאן קיים בדיוק אחד כזה.
• "לכל מספר טבעי $n$ קיים מספר טבעי הגדול ממנו" - כאן קיימים אינסוף מספרים כאלו.

בפרט

נאמר שטענה א' מתקיימת בפרט אם הוכחנו כבר טענה ב' שמכילה בתוכה את טענה א'. לדוגמא:

• "2 הוא מספר זוגי ובפרט 2 הוא מספר". כלומר כל מספר זוגי הוא מספר ולכן גם 2 מקיים זאת.
• "$2<5<x$ ובפרט $2<x$".

רק עבור

נאמר שטענה א' מתקיימת רק עבור קבוצה ב' אם אינה מתקיימת עבור כל העצמים שאינם בקבוצה ב' וכן מתקיימת עבור עצמים בקבוצה ב'.

נאמר שטענה א' מתקיימת רק אולי עבור קבוצה ב' אם אינה מתקיימת עבור כל העצמים שאינם בקבוצה ב' ואיננו יודעים האם היא מתקיימת עבור עצמים בקבוצה ב'.

פרט ל-

נאמר שטענה א' מתקיימת פרט ל-קבוצה ב' אם היא מתקיימת לכל עצם אחר מלבד קבוצת עצמים ב' המקיימת תנאי מסוים, ואינה מתקיימת לאף אבר ב-ב'.

נאמר שטענה א' מתקיימת פרט אולי ל-קבוצה ב' אם היא מתקיימת לכל עצם אחר מלבד קבוצת עצמים ב' המקיימת תנאי מסוים, למרות שלא מן הנמנע שהיא כן מתקיימת לחלק מהעצמים ב-ב'. בד"כ משתמשים בטענה מסוג פרט אולי ל- כאשר יש כמה מקרי קצה שאינם מקיימים את הטענה המרכזית, אך עצם קיומם לא יפריע להלך הרוח הכללי. לדוגמא: "הפונקציה $f(x)={\frac {1}{x}}$ היא פונקציה רציפה, פרט אולי לנקודה אחת".

וגם

נאמר ש-א' וגם ב' אם מתקיימים שני התנאים יחדיו.

או

נאמר ש-א' או ב' אם מתקיים לפחות אחד מבין שני התנאים. שימו לב שבשפת היום יום כאשר אומרים או מתכוונים בד"כ לכך שרק אחד התנאים מתקיים, ואילו בניסוח מתמטי יתכן ששני התנאים מתקיימים יחדיו.

יהי

משתמשים במושג "יהי" בהוכחות כאשר רוצים להוכיח טענה כללית כלשהי. נהוג לקחת עצם יחיד ואקראי מתוך קבוצה גדולה ולהוכיח עבורו. מעצם אקראיות הבחירה ההוכחה מורחבת לשאר העצמים בקבוצה. פרוט על שיטת הוכחה זו בפרק הבא.

אִם, אם ורק אִם

משתמשים במונח טענה א' אִם טענה ב', כאשר טענה ב' גוררת אחריה את טענה א' באופן מוחלט. ומסמנים: ב' $\Leftarrow$ א'.

משתמשים במונח טענה א' אם ורק אם טענה ב' (ראשי תיבות אמ"ם או אם"ם) ומסמנים "א' $\iff$ ב'" כאשר כל אחת משתי הטענות גוררת אחריה את רעותה ולמעשה הטענות שקולות.

בכדי להפריד בין שני מקרים אלו, ולמען הסרת ספק, לעתים כותבים במקום המונח "אִם": "אִם, אבל לא רק אִם" או "אִם... אבל לא להפך".

באופן ריק

במתמטיקה, נהוג לומר על טענה כי היא מתקיימת באופן ריק (אין סימון מיוחד לכך) אם נכונותה אינה עומדת כלל למבחן, בשל העובדה שהיא מדברת על אובייקטים שאינם קיימים.

לדוגמא: "כל מספר ראשוני המתחלק ב-6 מסתיים בספרה 9". מכיון שלא קיים מספר ראשוני שמתחלק ב-6, הטענה נכונה באופן ריק.

נכונותו הפורמלית של השימוש ב"באופן ריק" נובעת מתכונתו של קשר הגרירה בלוגיקה. קשר הגרירה $A\to B$ , שפירושו "אם A אז B" מקבל ערך "שקר" אך ורק כאשר A אמת ואילו B הוא שקר. למשל, הטענה "אם אתמול היה יום שני אז היום יום רביעי" היא שקר אך ורק אם טענה A: "אתמול היה יום שני" היא אמת, אך טענה B, "היום יום רביעי" היא שקר. אם נאמר את הטענה ביום חמישי, למשל, היא תהיה נכונה, שכן אתמול לא היה יום שני.

אם כן, טענה מתקיימת באופן ריק אם היא מנוסחת בצורה $A\to B$ אך A אינו מתקיים. מבחינה מתמטית אין בכך כל דופי, אך הדבר עלול להיראות כעומד בסתירה לשכל הישר ולאינטואיציה.

דרך נוספת ושקולה לראות טענה המתקיימת "באופן ריק" היא על ידי כך שחושבים עליה כעל טענה שמתקיימת רק עבור קבוצה ריקה של עצמים. למשל, הטענה "כל הנחשים ההולכים על שתיים הם שקרנים ואין לסמוך עליהם" מתקיימת באופן ריק, שכן אין נחשים בעלי רגלים.

היפוכי ניסוח

לעתים קרובות נדרש לבצע היפוך ניסוח לטענה, למשל כאשר רוצים להפריך אותה (להוכיח שאינה נכונה, להוכיח את שלילתה). לסטודנט הלא-מנוסה עשויה להיות לעתים קרובות בעיה בהיפוך נכון של טענות, דבר שנראה קל. הכללים הבאים חייבים להישמר על-מנת להפוך טענה בצורה נכונה:

• יש להחליף בין המילים "לכל" ו"קיים" (ולהפך). לדוגמא: "לכל מספר טבעי $n$ מתקיים..." יהפוך ל: "קיים מספר טבעי $n$ כך שלא מתקיים..."
• יש להחליף בין המילים "וגם" ו"או" (ולהפך).
• יש לשלול כל פסוק יסודי (כלומר פסוק שאין בו ביטויים כגון "וגם", "או", "לכל", וכדו').

למשל שלילת הפסוק "קיים מספר טבעי $n$ כך שלכל מספר טבעי $m$ קיים מספר טבעי $k$ כך ש$n=m\cdot k$ וגם $k\leq n$" היא "לכל מספר טבעי $n$ קיים מספר טבעי $m$ כך שלכל מספר טבעי $k$ מתקיים $n\neq m\cdot k$ או $k>n$". שימו לב לשלילת הפסוקים היסודיים.

הפרק הקודם: המושגים היסודיים בלימוד המתמטיקה

ניסוחים במתמטיקה והסבר להם

הפרק הבא: מבוא לקבוצות