מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | חשבון דיפרנציאלי

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

1 תבנית
- 1.1 פונקציה רציונאלית כאשר n מספר שלם ושלילי
- 1.2 פונקציה מורכבת
2 תיאור הפונקציה
- 2.1 פונקציה זוגית (n זוגי)
- 2.2 פונקציה אי זוגית (n אי זוגי)
3 תחום הגדרה
4 חיתוך עם הצירים
5 תחום שלילי וחיובי
6 נקדת הקיצון
7 נקודות פיתול
8 תחומי עליה וירידה
9 אסיפטוטות
- 9.1 אסיפטוטה אנכית לציר X
- 9.2 אסיפטוטה אופקית
10 תיאור גרפי

[עריכה] תבנית

$y = X n$ , כאשר n = הוא מספר טבעי.

דוגמאות :

פונקציה ריבועית : $y = x 2$
פונקציה ממעלה שלישית : $y = x 3$
פונקציה קבועה - פונקציה ממעלת אפס : $y = X 0$
פונקציה ממעלה ראשונה

[עריכה] פונקציה רציונאלית כאשר n מספר שלם ושלילי

ישנם המתבלבלים והכוללים את הפונקציה מהצורה הזו : $y = X - n$ כפונקצית חזקה, אולם, אין הדברים כך. כאשר n הוא מספר שלילי, על פי כלל החזקה : $a^{-1} = \frac{1}{a}\,$ , תבנית הפונקציה היא למעשה : $y=X^{-n}=\frac{1}{X^{n}}$ , כלומר פונקציה רציונאלית (פונקצית שבר), עליה נדון בהמשך הספר.

[עריכה] פונקציה מורכבת

כאמור בפרק סוגים של פונקציות, מפונקצית חזקה, ניתן ליצור פונקציות נוספות ע"י הוספת מספרים לפונקציה באמצעות פעולות חשבון. כמו למשל, $y = x 5 + 2 x$ , $y=\frac{1}{9}x^7+2x^4-8$ וכדומה.

[עריכה] תיאור הפונקציה

פונקציות החזקה הן למעשה, פונקציות זוגיות ואי זוגיות

[עריכה] פונקציה זוגית (n זוגי)

פונקצית שיקוף, כאשר : $f ( - x) = f (x)$ . תכונות :

תחום הגדרה : $X\in\mathbb R$ .
תחום שלילי וחיובי - חיובית לכל $X\ne0$ .
תחומי עליה וירידה:
- עליה : $X > 0$
- ירידה : $X < 0$

[עריכה] פונקציה אי זוגית (n אי זוגי)

פונקצית שיקוף, כאשר : $f ( - x) = - f (x)$ . תכונות :

תחום הגדרה : $X\in\mathbb R$ .
תחום שלילי וחיובי
חיובי $X > 0$ .
שלילת : $X < 0$
תחומי עליה וירידה - עולה לכל X.

[עריכה] תחום הגדרה

ניתן לזכור, שעבור פונקציה חזקה (זוגית ואי זוגית) תמיד : $X\in\mathbb R$ .

[עריכה] חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר X : נציב y=0 ונפתור משוואה עם נעלם אחד
חיתוך עם ציר Y : נציב x=0 ונפתור.

[עריכה] תחום שלילי וחיובי

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

ניתן לזכור שעבור :

פונקצית חזקה זוגית - חיובית לכל $X\ne0$ .
פונקצית חזקה אי זוגית :
חיובי $X > 0$ .
שלילת : $X < 0$

[עריכה] נקדת הקיצון

גזירת הפונקציה. נגזרת של פונקצית חזקה : $a x n = n a x n - 1$
מציאת ערכי X של הנקודות - השוואה לאפס ( $\ f'(x) = 0$ ).
מציאת ערכי Y של הנקודות- את ערכי ה-y נמצא על ידי הצבת ערכי ה-X במשוואה הפונקציה המקורית.

[עריכה] נקודות פיתול

השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון, כלומר :

נבצע גזירה. נגזרת של פונקצית חזקה : $a x n = n a x n - 1$
נשוואה נגזרת לאפס.
נפתור את המשוואה.
נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד לנקודת קיצון (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה "תעלה ותעלה" או "תרד ותרד".

[עריכה] תחומי עליה וירידה

על פי נקודות הקיצון נוכל לדעת את תחומי העליה והירידה. ניתן לזכור שעבור :

פונקצית חזקה זוגית :
- עליה : $X > 0$
- ירידה : $X < 0$
פונקצית חזקה אי זוגית - עולה לכל X.

[עריכה] אסיפטוטות

[עריכה] אסיפטוטה אנכית לציר X

פישוט הפונקציה ככל הניתן (למניעת אפשרות לחור).
בדיקת תחום הגדרה.
אסימפטוטה אנכית היא כל אותן נקודות המופיעות בתחום ההגדרה.

[עריכה] אסיפטוטה אופקית

מציאת ערך ה-X הגדול ביותר בפונקציה.
שלושת המצבים :
- y=0 (מתלכדת עם ציר ה-X בגרף)- כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
- אין אסימפטוטה המקבילה לציר X-כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
- אסיפטוטה Y היא ערך מקדמי ה-X הגבוה - אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
רשימת הערכים בהם :
- $\lim_{X \to \infty}$ .
- $\lim_{X \to -\infty}$ .
בדיקת נקודת חיתוך - הצבת הפתרונות y אסימפטוטת בפונקציה.

[עריכה] תיאור גרפי

הצבת כל הנתונים במקרא מסודרת ויצירת גרף.

מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית חזקה