מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה רציונלית

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

[עריכה] תבנית

Y=\frac{a}{b} ; פונקצית שבר ; בעלת מונה ומכנה.

[עריכה] תיאור הפונקציה

לפונקציה רציונאלית אין מראה החוזר על עצמו.

[עריכה] תחום הגדרה

אי השוואת המכנה לאפס (b\ne0).

[עריכה] חיתוך עם הצירים

  1. חיתוך עם ציר X : נציב y=0 ונפתור.
  2. חיתוך עם ציר Y : נציב x=0 ונפתור.

[עריכה] תחום שלילי וחיובי

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

[עריכה] נקדת הקיצון

  1. גזירת הפונקציה. נגזרת של פונקצית רציונאלית  : [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f(x)'*g(x)-f(x)*g(x)'}{[g(x)]^2}
  2. מציאת ערכי X של הנקודות - השוואה לאפס (\ f'(x) = 0).
  3. מציאת ערכי Y של הנקודות- את ערכי ה-y נמצא על ידי הצבת ערכי ה-X במשוואה הפונקציה המקורית.

[עריכה] נקודות פיתול

השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון, כלומר :

  1. נבצע גזירה. נגזרת של פונקצית רציונאלית: [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f(x)'*g(x)-f(x)*g(x)'}{[g(x)]^2}
  2. נשוואה נגזרת לאפס.
  3. נפתור את המשוואה.
  4. נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד לנקודת קיצון (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה "תעלה ותעלה" או "תרד ותרד".

[עריכה] הערה : נגזרת שנייה

פונקציה רציונאלית בעלת מונה ומכנה. על פי נוסחא הגזירה, המכנה (g(x)), יהיה תמיד חיובי (מעלים אותו בשנייה). כלומר, ערך הנגזרת השנייה יהיה נתון בידי המונה בלבד, כיוון, שהמכנה תמיד חיובי. כאשר המונה יהיה  :

  1. חיובי – הפונקציה תרד.
  2. שלילי – הפונקציה תעלה.
  3. אפס – נקודות פיתול.

לכן, כאשר רוצים לבצע גזירה שנייה עבור פונקציה רציונאלית, נבצע גזירה עבור מונה בלבד. בדרך זו נקצר לנו תהליך גזירה ארוך.

[עריכה] תחומי עליה וירידה

כאמור, הנגזרת הראשונה של פונקציה רציונאלית היא בעלת מכנה חיובי, לכן, הגורם המשפיע הוא המונה. מכאן, שאין צורך להציב את המספרים במכנה (כיוון שהוא תמיד חיובים) ולהציב רק במונה.

למשל, מהו ערך הנגזרת f(x)=\frac{2x+2}{(x+1)^2} בנקודה (0,1).

נציב במונה את ערך הנקודה : 2*0+2=2\rightarrow+, לכן הנגזרת חיובית!

כמו תמיד נעזר בטבלה בה נציב :

  • נקודות הקיצון החשודות על פי סדר עולה ואת נקודות תחום ההגדרה.
  • נוסיף מספרים לפני ואחריה הנקודות החשודות.
    • נציב בנגזרת את המספרים הנבחרים. כאשר :
      • ערכי הנגזרת (y') חיובים - הפונקציה עולה.
      • ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
  • נרשום מי הן מבין הנקודות הן נקודות מינימום ומי הן נקודות מקסימום

[עריכה] אסיפטוטות

[עריכה] אסיפטוטה אנכית לציר X

  1. פישוט הפונקציה ככל הניתן (למניעת אפשרות לחור).
  2. בדיקת תחום הגדרה.
  3. אסימפטוטה אנכית היא כל אותן נקודות המופיעות בתחום ההגדרה.

[עריכה] אסיפטוטה אופקית

  1. מציאת ערך ה-X הגדול ביותר בפונקציה.
  2. שלושת המצבים :
    • y=0 (מתלכדת עם ציר ה-X בגרף)- כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
    • אין אסימפטוטה המקבילה לציר X-כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
    • אסיפטוטה Y היא ערך מקדמי ה-X הגבוה - אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
  3. רשימת הערכים בהם :
    • \lim_{X \to \infty}.
    • \lim_{X \to -\infty}.
  4. בדיקת נקודת חיתוך - הצבת הפתרונות y אסימפטוטת בפונקציה.

[עריכה] תיאור גרפי

הצבת כל הנתונים במקרא מסודרת ויצירת גרף.


מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA/%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F_%D7%93%D7%99%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%AA