מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

1 רענון
2 תיאור הפונקציה
3 תחום הגדרה
4 נקודות חיתוך עם הצירים
5 תחום שלילי וחיובי
- 5.1 סימונים
6 נקודת הקיצון/קודקוד הפרבולה/מוקד
- 6.1 דרך א'
  - 6.1.1 ערך הנקודה
  - 6.1.2 סוג נקודת קיצון
- 6.2 דרך ב'
7 נקודות פיתול
8 תחומי עלייה וירידה
9 אסיפטוטות
10 תיאור גרפי

[עריכה] רענון

בשאלון 005 חקרנו משוואה ריבועית. נזכיר כי משוואה ריבועית היא משוואה ממעלה שנייה שצורתה הכללית היא : $y = a x 2 + b x + c$ , המייצגת פרבולה. אולם, גילנו גם כי נוסחת יכולה להציג משוואה לינארית, ולכן, במהלך חקירתנו בדקנו שני תנאים :

כאשר הנוסחא מציגה פרבולה - מקדם ה- $X 2$ שונה מאפס ( $a\ne0$ ).
כאשר הנוסחא מייצגת פונקציה ישרה/פונקציה ממעלה ראשונה - כיוון שהפונקציה ממעלה ראשונה (אין מספרים בריבוע) : $a = 0$ .

לאחר מכן, חקרנו כל אחת מהפונקציות בנפרד והסקנו מסקנות עבור המשוואה הריבועית.
בניגוד לפרק בו חקרנו משוואה ריבועית, בפרק זה נחקור רק פונקציה ריבועית, ולכן, התנאי הבסיסי שלנו הוא ש $a\ne0$ .

[עריכה] תיאור הפונקציה

y = a x 2 + b x + c

$a\ne0$

כאמור, פונקציה ריבועית, היא פונקציה שמקורה ממשואה ריבועית. 3 מרכיבים בולטים בה :

קודקוד הפרבולה/מוקד.
ישר הסימטריה של הפרבולה/ישר מנחה - זהו ישרה היוצא מקודקוד הפרבולה.
שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.

[עריכה] תחום הגדרה

$a\ne 0$ - בכדי שפונקציה ריבועית תהיה פונקציה ריבועית, חייב להיות מספר בריבוע.

[עריכה] נקודות חיתוך עם הצירים

[עריכה] מציאת נקודת חיתוך עם ציר X

בדיקה סוג הפרבולה ישרה או (a>0) הפוכה (a<0).
הצבה y=0.
מציאת ערכי X עבורם y=0 באמצעות טכניקות שונות כגון: טרינום, פירוק לגורמים ועוד.
שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה : "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").

[עריכה] מציאת נקודת חיתוך עם ציר Y

הצבה X=0.
פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
- חיתוך עם ציר Y - פתרון יחיד.
- אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2.

[עריכה] ההבדל בין חקירת משוואה ממעלה שנייה לפרבולה - שלושת המצבים

דוגמא לשלושת המצבים

בנושא חקירת משוואה ממעלה שנייה הועלה נושא "שלושת המצבים של המשוואה", כזכור שלושת המצבים הם :

כאשר $\ \Delta>0$ יש שתי נקודות חיתוך.
כאשר $\ \Delta=0$ יש נקודת חיתוך אחת (שימו לב, ישנם פעמים בהם שואלים : באילו ערכי X לפונקציה הבאה יש נקודת חיתוך אחת? – יש צורך גם לבדוק עבור פונקציה ממעלה ראשונה).
כאשר $\ \Delta<0$ אין נקודות חיתוך.

בכדי לגלות מתי לפונקציה יש שתי, נקודה או אין בכלל נקודות חיתוך עם ציר ה-X פתרנו את המשוואה $Δ = b 2 - 4 a c$ .

שימוש בדרך זו אינה יעילה כיוון שהיא רק מציינת בפנינו : האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה-X? כמה נקודות?

[עריכה] דוגמא

לפנינו הפרובלה : $y = X 2 + 6 X + 9$ .

בכדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X נשוואה אותה לאפס. השלבים :

הפונקציה : $y = X 2 + 6 X + 9$
פונקצית ציר איקס : $y = 0$
נשוואה בין הפונקציות : $X 2 + 6 X + 9 = 0$
נעזר בנוסחאת הכפל המקוצר $(x + 3) 2 = 0$
נפתור : $x = - 3$

בכדי לגלות איזה סוג של נקודות חיתוך יש לה עם ציר ה-X, נעזר בדלתא. השלבים :

הפונקציה : $y = X 2 + 6 X + 9$
נגלה את דלתא : $Δ = 6 2 - 4 * 9$
נפתח : $Δ = 36 - 36$
נצמצם : $Δ = 36 - 36 = 0$
המצב : $\ \Delta=0$ , כלומר לפונקציה $y = X 2 + 6 X + 9$ יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-X. נקודה זו מצאנו בדרך של השוואה.

[עריכה] תחום שלילי וחיובי

קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר

כיתוב תמונה

רשימת אי שיוויון על פי הדרישה :
- תחום חיובי - רשימה אי שיוויון ריבועי כך : $a x 2 + b x + c > 0$ .
- תחום שלילי - רשימה אי שיוויון ריבועי כך : $a x 2 + b x + c > 0$ .
מציאת נקודות חיתוך עם ציר X.
שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה")
קביעת תחום - סימון התחום הנדרש :
- מעל ציר X - תחום חיובי.
- מתחת ציר Y - תחום שלילי.

[עריכה] סימונים

נזכיר כיצד מסמנים תחום.
ההתבנית המשותפת : {X|התחום}.
סוגי סוגרים :

() - לא כולל המספרים הרשומים (כלומר : >או<).
[] - כולל המספרים הרשומים (כלומר : $\ge$ או $\le$ )
[)/(] - שילוב של שני הסוגרים ע"פ כולל או לא כולל.

[עריכה] נקודת הקיצון/קודקוד הפרבולה/מוקד

[עריכה] דרך א'

[עריכה] ערך הנקודה

שיעור X של קודקוד הפרבולה : $X=\frac{-b}{2a}$ .

שיעור Y של קודקוד הפרבולה : $Y=c\frac{-b^2}{4a}$

[עריכה] סוג נקודת קיצון

מינמום - a>0.
מקסימום - a<0.

[עריכה] דרך ב'

מציאת נגזרת הפרבולה ע"פ כללי הגזירה. השלבים :

גזירה.
מציאת סוג הנקודה ע"פ גזירה שנייה או טבלה (3 מספרים : הנקודה עצמה, נקודה לפני ונקודה אחרי).
סימון על גרף מיקום.
סימון מקסימום מינמום על הגרף.

[עריכה] נקודות פיתול

לפונקציה ממעלה שנייה אין נקודות פיתול.

[עריכה] תחומי עלייה וירידה

שתי דרכים :

ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
פתרית משוואה :
- פרבולה ישרה - יורדת כאשר $X<\frac{-b}{2a}$ ועולה כאשר $X>\frac{-b}{2a}$ .
- פרבולה הפוכה - יורדת כאשר $X>\frac{-b}{2a}$ ועולה כאשר $X<\frac{-b}{2a}$ .

[עריכה] אסיפטוטות

אין.

[עריכה] תיאור גרפי

[עריכה] ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, הפרבולה צרה יותר

ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר.

[עריכה] פרבולה + c

# כאשר K חיובי הפרבולה עולה – מעלה את ערך Y. # כאשר K שלילי הפרבולה יורדת – מוריד את ערך Y.

[עריכה] פרבולה בעלות נעלם ממעלה ראשונה

פרבולות בעלות נעלם ממעלה ראשונה. ישנם שני סוגים אפשריים:

פרבולות שמבוטאות באמצעות כפל מקוצר, כלומר, $y=(ax\pm b)$
פרבולות מהצורה : $a x 2 + b x$

כאשר b חיובי – הפרבולה זזה לכיוון ימין

כאשר b שלילי – הפרבולה זזה לכיוון שמאל.