מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה

משוואה

• משוואה מפורשת : y=mx+n
• משוואה כללית/סתומה : Ax+By+c=0

תיאור הפונקציה

שלוש פונקציות לינאריות גאומטריות. לאדומה ולכחולה יש שיפוע זהה (m), בעוד לאדומה ולירוקה יש נקודת חיתוך ציר y זהה (n)

תבנית : $y=mx+n$ - פונקציה פשוטה, כלומר, פונקציה ממעלה ראשונה (אין לה חזקות).

הפונקציה מורכבת משני משתנים קבועים (כלומר, עבור הפונקציה ערך של משתנים אינו משתנה - תמיד זהה). משתנים קבועים אלו חייבים להיות בפונקציה, אחרת, לא תיהיה פונקציה. הקבועים הם :

1. m = שיפוע
2. n - מקדם חופשי.

תחום הגדרה

כלל הישר הממשי $\mathbb R$

חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר X

1. הצבה y=0
2. פתירת משוואה ממעלה ראשונה, כלומר, קבלת פתרון יחיד.

n - מקדם חופשי; נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר Y

אם נציב בפונקציה לינארת $X=0$, נקבל $y=n$. כלומר, נקודת החיתוך עם ציר y היא $(0,n)$ ולכן אין צורך להציב x=0 במשוואה, אלה לבדוק את ערך ה-n.

למשל, נתונה המשוואה : $y=-2x+5$.
על פי, המשוואה אנו יכולים לראות כי n=5 ולכן נקודת החיתוך היא (0,5).

תחום שלילי וחיובי

בכדי למצוא תחום שלילי וחיובי, נבדוק תחילה האם הפונקציה עולה או יורדת. לפונקציה הישרה תחום התנהגות אחד בלבד, שהתנהגותו (עליה או ירידה) תלויה בשיפוע שלה, כלומר במקדם m:

• אם m חיובי - הפונקציה עולה.
• אם m שלילי - הפונקציה יורדת.
• אם m = 0 (כלומר $y=n$) הפונקציה קבועה.

כעת, נקבע את התחומים:

• בפונקציה עולה: התחום החיובי הוא התחום שבו x גדול מערך ה x בנקודת החיתוך עם ציר ה x, והתחום השלילי הוא התחום שבו x קטן מערך ה x בנקודת החיתוך עם ציר ה x.
• בפונקציה יורדת, להיפך: התחום החיובי הוא התחום שבו x קטן מערך ה x בנקודת החיתוך עם ציר ה x, והתחום השלילי הוא התחום שבו x גדול מערך ה x בנקודת החיתוך עם ציר ה x.

בנקודת החיתוך עם ציר x, תחום הפונקציה אינו חיובי ואינו שלילי.

• פונקציה קבועה היא בעלת תחום אחד בלבד. אם המקדם החופשי (n) חיובי, כל התחום הוא חיובי, ואם הוא שלילי, כל התחום הוא שלילי.

נקדת הקיצון

אין.

נקודות פיתול

אין.

תחומי עלייה וירידה : משמעות קבוע m - שיפוע

השיפוע של פונקציה ישרה קובע את הזוויות וגודלה של הזווית שתיווצר בין הפונקצית הישר לציר ה-X. על פיו ניתן לגלות האם הפונקציה עולה? או יורדת?

הזוויות שנוצרת(ברביע הראשון)

* פונקציה עולה (m>0) - כאשר m חיובי הזווית שתיווצר עם ציר ה-X תהיה חדה (דוגמא - פונקציה אדומה). * פונקציה יורדת (m<0)-כאשר m שלילי הזוויות שתיווצר עם ציר ה-X תהיה קהה (דוגמא - פונקציה כחולה)

פונקציה מקביל לציר $X$ / פונקציה קבועה (m=0)- כאשר השיפוע שווה לאפס, הישר מקביל לציר X או מלכד איתו

גודל הזוויות

ככל שערך המוחלט של השיפוע גדול יותר, כך, הזוויות שתיווצר ברביע הראשון תהיה גדולה יותר.

אסיפטוטות

אין.

תיאור גרפי

פונקציה ישרה, בעלת נקודת חיתוך אחת לפחות (נקודת החיתוך עם ציר Y).

3 מצבים בין פונקציות לינאריות

1. מקבלים - שיפועים זהים, מקדמים חופשים שונים.
2. מתלכדים -שיפועים ומקדמים זהים.
3. נחתכים - שיפועים שונים.
   • נצבות (90 מעלות צלזיוס) - הפונקציות חותכות זו את זו ויוצרות שיפוע של 90 מעלות צלזיוס. אם פונקציות ניצבות זו לזו, השיפועים שלהן מקיימים את הנוסחא : $m_1*m_2=-1$.

הרחבה על הנושא בפרק : מצב הדדי בין פונקציות.