מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

באמצעות השימוש בנגזרת, ניתן לחקור את הפונקציה, וללמוד עליה מספר תכונות כדוגמת נקודות קיצון מקומיות (נקראת גם נקודת קיצון אזורית, או, בשמה הלועזי ; נקודת קיצון לוקאליות).

תוכן עניינים 1 מושגי יסוד 1.1 מהי נקודת קיצון? 1.2 נקודת קיצון פנימית או נקודת קיצון בקצוות 1.2.1 נקודת קיצון בקצוות 1.2.1.1 דוגמא 1.2.2 נקודת קיצון פנימית 1.3 סוגים של נקודות קיצון 1.3.1 נקודות קיצון מוחלטות/גלובלית 1.4 נקודת פיתול 2 מציאת נקודת קיצון פנימית 2.1 שלבים 2.2 סוג נקודת הקיצון 2.2.1 דרך א' - טבלה 2.2.1.1 דוגמא 2.2.2 דרך ב' - נגזרת שנייה 2.2.2.1 דוגמה א' - דרך ב', עבור תרגיל קודם 2.2.2.2 דוגמה ב' 2.2.3 איזו שיטה עדיפה?

[עריכה] מושגי יסוד

[עריכה] מהי נקודת קיצון?

נקודת קיצון מקומית היא נקודה הבולטת משאר הנקודות הקימות על הפונקציה, כיוון, שהיא נקודה גבוה או נמוכה מבין הנקודות הנמצאות סביבה. שמה המקוצר והפופלארי הוא : נקודת קיצון.

[עריכה] נקודת קיצון פנימית או נקודת קיצון בקצוות

נקודת קיצון יכולה להיות נקודה שנמצאת בתוך הפונקציה, או נקודה שנמצאת בקצה הפונקציה, כפי שמתואר באיור. לכן, מגדירים :

[עריכה] נקודת קיצון בקצוות

נקודות הקיימות בפונקציה סגורה (כמו : קטע) או בפונקצית קרן. באיור שלנו, זו הנקודה השמאלית ביותר.

[עריכה] דוגמא

פונקצית שורש היא פונקציה סגורה. כפי שלמדנו, בכדי למצוא תחום ההגדרה של פונקצית שורש, למשל, , נבצע תחילה את הפעולות הבאות :

1. x² − 9 > 0.
2. נפתור את אי השיוויון. כלומר,
3. נצייר ציר ונבדוק מתי הנקודות מעל ציר ה-X.
4. נגיע לפתרון; תחום ההגדרה של הפונקציה הוא :
5. כלומר, נקודות קיצון בקצוות הן (0,3) ו-(0, − 3).

[עריכה] נקודת קיצון פנימית

נקודת קיצון הנמצאת בתוך גבולות הפונקציה. בדוגמא, שלושת הנקודות מצד ימין. בכדי למצוא נקודות אלו אנו נעזרים בנגזרת, להבדיל מנקודות בקצוות.

[עריכה] סוגים של נקודות קיצון

1. נקודת מקסימום -נקודה בה הפונקציה עוברת ממצב של עליה למצב של ירידה. לכן, שיפוע המשיק עובר משיפוע חיובי לשיפוע שלילי.
2. נקודת מינמום - נקודה בה הפונקציה ממצב של ירידה למצב של עליה. לכן, שיפוע המשיק עובר משיפוע שלילי לשיפוע חיובי.

כדאי לדעת: בכל נקודת קיצון פנימית, בה הפונקציה עוברת ממצב עליה/ירידה, השיפוע של המשיק שווה לאפס.

[עריכה] נקודות קיצון מוחלטות/גלובלית

נקודת קיצון מוחלט הינה נקודת קיצון מקומית הנמוכה/גבוהה ביותר בכל הפונקציה. זאת להבדיל, מנקודת קיצון מקומית רגילה שאינה חייבת להיות דווקא הנקודה הנמוכה/גבוה ביותר.

[עריכה] נקודת פיתול

נקודה שאינה נקודת קיצון, אולם, היא יחידות לשאר נקודות הפונקציה כיוון שהיא מהווה מעבר מעליה לעליה או מירידה לירידה בפונקציה. לכן חשוב לציין כי לא כל נקודה בה , היא נקודת קיצוןץ

הרחבה בנושא ראה פרק נקודות פיתול.

[עריכה] מציאת נקודת קיצון פנימית

כדאי לדעת: בכל נקודת קיצון פנימית, בה הפונקציה עוברת ממצב עליה/ירידה, השיפוע של המשיק שווה לאפס. ובשפה המתמטית : .

על סמך משפט זה, פשוט לנו מאוד למצוא את נקודות הקיצון וזאת על ידי משוואה פשוטה. במשוואה נבדוק מתי שיפוע המשיק לפונקציה (הנגזרת) שווה לאפס: .

[עריכה] שלבים

מכאן שהשלבים למציאת נקודות הקיצון הם :

1. גזירת הפונקציה.
2. מציאת ערכי X של הנקודות - השוואה לאפס ().
3. מציאת ערכי Y של הנקודות- את ערכי ה-y נמצא על ידי הצבת ערכי ה-X במשוואה הפונקציה המקורית.

[עריכה] סוג נקודת הקיצון

[עריכה] דרך א' - טבלה

בכדי לגלות את סוג נקודת הקיצון נעזר בטבלה. בטבלה יופיעו ערכי X של הנקודות החשודות כשאותה תוחמות שתי נקודות (לפניה ואחריה) אותן אנו נבחר. עבור נקודות אלו, נבדוק את שיפוע המשיק, כך, שנוכל לגלות האם הפונקציה עולה לפני הנקודה? או יורד?. כמו גם, אסור לשכוח את נקודות הקצה.

כאמור :

1. כאשר שיפוע המשיק יעלה (כלומר, ערכו יהיה חיובי), הפוקציה תעלה.
2. כאשר שיפוע המשיק ירד (כלומר, ערכו יהיה שלילי), הפונקציה תירד.

בעקרון הטבלה תראה כך :

נקודת קצה	נקודה בין שתי הנקודות	נקודה חשודה	נקודה בין שתי הנקודות	נקודת קצה	ערכי X של הנקודות
0	תלוי בנגזרת שתתקבל	0	תלוי בנגזרת שתתקבל	0	נגזרת (y')
נקודת קיצון	פונקציה עולה/יורדת בהתאם לנגזרת	נקודת קיצון	פונקציה עולה/יורדת בהתם לנגזרת	נקודת קיצון	פונקציה

[עריכה] דוגמא

מצא את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה .

נפתור כפי שלמדנו:

• מציאת נגזרת הפונקציה : .
• השוואת נגזרת לאפס : .
• פישוט : - נפשט בכדי לפתור את המשוואה
• מציאת ערכי X של הנקודות :
  • x = -1
  • x = -5.
• מציאת ערכי y של הנקודות :
  • f( − 1) = ( − 1)³ + 9( − 1)² + 15( − 1) + 7 = 0
  • f( − 5) = ( − 5)³ + 9( − 5)² + 15( − 5) + 7 = 32
• שימוש בטבלה :

0	1-	4-	5-	6-	ערכי X של הנקודות
y'(0) = 3 * 0 + 18 * 0 + 15 = +	0	y'( − 4) = 3 * ( − 4)2 + 18 * ( − 4) + 15 = − 9 = > −	0	y'( − 6) = 3 * ( − 6)2 + 18 * ( − 6) + 15 = 15 = > +	y'

0	1-	4-	5-	6-	ערכי X של הנקודות
y'(0) = 3 * 0 + 18 * 0 + 15 = +	0	y'( − 4) = 3 * ( − 4)2 + 18 * ( − 4) + 15 = − 9 = > −	0	y'( − 6) = 3 * ( − 6)2 + 18 * ( − 6) + 15 = 15 = > +	y'
פונקציה עולה	0	פונקציה יורדת	0	פונקציה עולה	y

פתרון :

• הנקודה ( − 5,32) היא נקודת מקסימום.
• הנקודה ( − 1,0) היא נקודת מינמום.

[עריכה] דרך ב' - נגזרת שנייה

באמצעות, הצבת ערך X של נקודת הקיצון, בנגזרת השנייה, נוכל לדעת את אופיה של נקודת הקיצון. כאשר :

1. פתרון הנגזרת השנייה יוצא חיובי - נקודת הקיצון היא מינמום.
2. פתרון הנגזרת השנייה יוצא שלילי - נקודת הקיצון היא מקסימום.

כדאי לדעת: לפונקציה רציונאלית ניתן לעשות נגזרת שנייה עבור מונה בלבד

[עריכה] דוגמה א' - דרך ב', עבור תרגיל קודם

הצבה בנגזרת שנייה תיתן :

• f(-1) = 6(-1) + 18 = 12
• f(-5) = 6(-5) + 18 = -12

כלומר, הנקודה הראשונה (-1) היא נקודת מינימום, בעוד השניה (-5) מקסימום.

לפונקציה 2 נקודות קיצון, נקודת מינימום אחת ונקודת מקסימום אחת

[עריכה] דוגמה ב'

מצא נוסחה לערך הx של קודקוד פרבולה (פונקציה מהצורה ) ובדוק במה תלוי אם זוהי נקודת מינימום או מקסימום.

כמובן שניתן לבדוק זאת גם בלי ניגזרות, אך, בכדי לתרגל נעשה כפי שלמדנו:

• - גזרנו בדרך הרגילה.
• - נבדוק מתי שיפוע המשיק(הנגזרת) שווה ל-0
• - נבטא לפי המשוואה את x באמצעות a ו-b,

זהו, מצאנו נוסחה אשר מבטאה את ערך הx של קודקוד הפרבולה.

עכשיו נעבור לחלק השני, האם הקודקוד הוא מינימום, או מקסימום. נעשה זאת כפי שלמדנו:

• - נגזור שנית את הפונקציה בשביל לבדוק אם זוהי נקודת מינימום או מקסימום.

עכשיו, ניתן לראות, כי הדבר היחידי אשר יכול להשפיע על היותה של הפונקציה שלילית או חיובית הוא a, שכן 2 הוא קבוע.

• אם a חיובי, תצא תוצאה חיובית, כלומר נקודת מינימום.
• אם a שלילי, תצא תוצאה שלילית, כלומר נקודת מקסימום.

[עריכה] איזו שיטה עדיפה?

באופן אישי, אני ממליצה על דרך א' כיוון שהיא ויזואלית. יתכן מצבים בהם תמצאו את עצמכם משתמשים בדרך שפחות עדיפה לכם כיוון שהיא פשוטה יותר בתרגיל ספציפים (לפעמים בבגרות "מכריחים" אותכם להשתמש בדרך השנייה, אחרת). לכן, חשוב לדעת את שני הדרכים.