מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים 1 הקדמה 2 מושגים 3 נקודות פיתול שהמשיק דרכן מקביל לציר ה-X 3.1 שלבים 3.2 הערה לגבי שלב 4 4 תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה

[עריכה] הקדמה

נקודת פיתול היא נקודה המהווה מעבר מעליה לעליה או מירידה לירידה, כפי שמתואר בגרף. נקודת פיתול אינה נקודת קיצון, אולם, דרך מציאת זהה לדרך מציאת נקודת קיצון - באמצעות שיפוע המשיק.

[עריכה] מושגים

בגלל הבלבול הרב בין קעירות לקמירות, הוחלט במשרד החינוך להשתמש במושג "קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה. כמו גם, בבגרות מצויירת הצורה.

פונקציה קעורה כלפי מעלה- פונקציה אשר עבור כל שתי נקודות באותו הקטע, הישר המחבר בין שתי הנקודות נמצא מעל לגרף הפונקציה.

פונקציה קעורה כלפי מטה- פונקציה אשר עבור כל שתי נקודות באותו הקטע, הישר המחבר בין שתי הנקודות נמצא מתחת לגרף הפונקציה.

נקודת פיתול - נקודה שבה הפונקציה הופכת מקמורה לקעורה, או להפך.

[עריכה] נקודות פיתול שהמשיק דרכן מקביל לציר ה-X

[עריכה] שלבים

השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון, כלומר :

1. נבצע גזירה.
2. נשוואה נגזרת לאפס.
3. נפתור את המשוואה.
4. נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד לנקודת קיצון (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה תעלה ותעלה או תרד ותרד.

[עריכה] הערה לגבי שלב 4

בניגוד לנקודות קיצון, רצוי מאוד למצוא נקודת פיתול באמצעות טבלה, כיוון, שחלק מנקודת הפיתול מאפסות גם את הנגזרת השנייה, ולכן, חייבים לעזר בטבלה (ניתן גם לעזר בנגזירות נוספות, אך העניין מתחיל להסתבך). למי שעדין מעוניין בדרך הגזירה צריך ללמוד את הנושא : נקודות פיתול - הוכחות משפטים.

משפט: משפט כאשר נקודה חשודה, מאפסת את נגזרת ראשונה ושנייה של הפונקציה, אך, לא את הנגזרת השלישית של הפונקציה - הנקודה היא נקודת פיתול. להוכחת המשפט לחץ כאן

[עריכה] תחומי קעירות כלפי מעלה ומטה

את תחומי הקעירות כלפי מעלה ומטה מגלים על פי הטבלה ורושמים באופן זהה לתחומי עליה וירידה.