לדלג לתוכן

תורת הקבוצות/פעולות על קבוצות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

איחוד קבוצות[עריכה]

דיאגרמת ון של האיחוד של

הגדרה 1.3: איחוד קבוצות

תהיינה קבוצות. לכל אבר מתקיים: אם ורק אם או .

במלים אחרות: האיחוד שלהם הוא הקבוצה המכילה את כל אברי ואת כל אברי , ורק אותם.

מעצם ההגדרה, ברור כי אין חשיבות לסדר הקבוצות. כלומר, .



משפט 1.4:

תהיינה קבוצות. מתקיים: וגם .

הוכחה

נשוב להגדרה של הכלה (הגדרה 1.1). עלינו להראות שלכל אם אז . אך טענה זו נובעת ישירות מההגדרה של איחוד, ולכן . ההוכחה עבור זהה.



משפט 15:

תהיינה קבוצות המקיימות . מתקיים: .

הוכחה

על-מנת להוכיח שוויון בין קבוצות, עלינו להראות הכלה משני הכיוונים, כלומר וגם .

הכיוון הראשון נובע ממשפט 1.3. על-מנת להוכיח את הכיוון השני, יהי אבר המקיים . לפי הגדרת האיחוד (הגדרה 1.5), מתקיים או .

כיון ש־ , אם אז , ולכן בשני המקרים . לכן .



משפט 1.6:

לכל קבוצה מתקיים: .

הוכחה

ממשפט 1.3 מתקיים , ולכן לפי משפט 1.4 מתקיים .

ממשפט 1.1 מתקיים , ולכן שוב לפי משפט 1.4 מתקיים .


הגדרה 1.4: המספרים הטבעיים

נגדיר את המספרים הטבעיים באופן הבא:

כלומר, 0 מוגדר בתור הקבוצה הריקה, וכל מספר טבעי מוגדר באמצעות קבוצת הטבעיים הקטנים ממנו.

איחוד מורחב[עריכה]

כפי שהגדרנו איחוד של שתי קבוצות, נוכל גם להגדיר איחוד של שלוש קבוצות:

באופן זה ניתן להרחיב את ההגדרה גם לאיחוד של 4 קבוצות, 5 קבוצות וכן הלאה.

בהינתן אוסף של קבוצות , נגדיר את האיחוד של הקבוצות כקבוצת האברים המופיעים באחת מהקבוצות. כלומר:

חיתוך קבוצות[עריכה]

דיאגרמת ון של החיתוך של


הגדרה 1.5: חיתוך קבוצות

תהיינה קבוצות. לכל אבר מתקיים: אם ורק אם וגם .

במלים אחרות: החיתוך שלהם הוא הקבוצה המכילה את כל האברים המשותפים גם ל־ וגם ל־ , ורק אותם.

מעצם ההגדרה, ברור כי אין חשיבות לסדר הקבוצות. כלומר, .



משפט 1.7:

תהיינה קבוצות. מתקיים: וגם .

הוכחה

נחזור להגדרת ההכלה (הגדרה 1.1). עלינו להראות שלכל אם אז . טענה זו נובעת ישירות מההגדרה של חיתוך, ולכן . ההוכחה עבור זהה.



משפט 1.8:

תהיינה קבוצות המקיימות . מתקיים: .

הוכחה

על-מנת להוכיח שוויון בין קבוצות, עלינו להראות הכלה משני הכיוונים, כלומר וגם . הכיוון השני נובע ממשפט 1.7. על-מנת להוכיח את הכיוון הראשון, יהי אבר . כיון ש- מתקיים , ולכן לפי הגדרת האיחוד .



משפט 1.9:

לכל קבוצה מתקיים: .

הוכחה

ממשפט 1.3 מתקיים ולכן לפי משפט 1.8 מתקיים . ממשפט 1.1 מתקיים ולכן שוב לפי משפט 1.7 מתקיים .


חיתוך מורחב[עריכה]

כפי שהגדרנו חיתוך של שתי קבוצות, נוכל גם להגדיר חיתוך של שלוש קבוצות:

באופן זה ניתן להרחיב את ההגדרה גם לחיתוך של 4 קבוצות, 5 קבוצות וכן הלאה.

בהינתן אוסף של קבוצות , נגדיר את החיתוך של הקבוצות כקבוצת האברים המופיעים בכל אחת מהקבוצות. כלומר:

הפרש בין קבוצות[עריכה]

דיאגרמת ון של ההפרש בין שתי קבוצות

הגדרה 1.6: הפרש בין קבוצות

תהיינה קבוצות. לכל אבר מתקיים: אם ורק אם אך .

במלים אחרות: ההפרש שלהם הוא הקבוצה המכילה את אברי שאינם שייכים ל־ , ורק אותם.


הערה: למרות שנהוג היום יותר להשתמש ב־ , עדיין נהוג לעתים בספרות ובמאמרים מסוימים בויקיפדיה השימוש בסימן בשביל ההפרש בין קבוצות.

הפרש סימטרי[עריכה]

דיאגרמת ון של ההפרש הסימטרי של

הגדרה 1.7: הפרש סימטרי

תהיינה קבוצות. לכל אבר מתקיים: אם ורק אם .

במלים אחרות: ההפרש הסימטרי שלהם הוא הקבוצה המכילה את כל האברים שאינם שייכים לחיתוך שלהם, ורק אותם.

תכונות מעניינות שמקיים ההפרש הסימטרי:

  • קומוטאטיביות
  • אסוציאטיביות

הוכחת העובדות האלה ניתנת כתרגיל לקורא.

כללי דה־מורגן[עריכה]

חוקי דה־מורגן הנם חוקים אשר מטרתם ל"הפוך" חיתוך באיחוד. זה נעשה על־ידי שימוש במשלים. לכל שתי קבוצות מתקיים:

הוכחת חוקי דה־מורגן[עריכה]

כעת נדגים הוכחה בתורת הקבוצות, ובד בבד, גם נוכיח את הכללים החשובים של דה־מורגן.

הוכחה

נפתח בחוק הראשון.

בצורה דומה מוכח גם המשפט השני.

כללי דה־מורגן המוכללים[עריכה]

בהינתן אוסף של קבוצות , מתקיים:

ההוכחה כמעט זהה לחלוטין להוכחה של חוקי דה־מורגן, ועל כן, היא מושארת כתרגיל לקורא.


הפרק הקודם:
יחסים בין קבוצות
פעולות על קבוצות הפרק הבא:
מכפלה קרטזית