תורת הקבוצות/מושג הקבוצה

בפרק זה נדון במושג "קבוצה" ובתכונותיה. בנוסף, נכיר סימונים מתמטיים חשובים שילוו אותנו בהמשך.

מהי קבוצה?

קבוצה (set) היא מושג יסוד במתמטיקה, פירוש הדבר שאין לו הגדרה מדויקת. היינו יכולים להגדיר קבוצה כאוסף של אברים אבל אז היינו נאלצים להתמודד עם השאלה "מהו אוסף?" או "מהו אבר?". אם היינו מנסים להגדיר אבר אז היינו נתקלים בשורה חדשה של מילים שעלינו להגדיר. הוסכם על כן שמושג הקבוצה הוא מושג יסוד במתמטיקה אשר אין לו הגדרה.

אינטואיטיבית על-מנת לעזור להבין נאמר שקבוצה היא אוסף מוגדר היטב של אברים. הכוונה ב"מוגדר היטב" היא שעבור כל אבר בעולם, או שהוא שייך לקבוצה או שאיננו שייך אליה (כלומר, לא יתכן מצב שבו אבר גם שייך לקבוצה וגם לא שייך אליה). אין פרוש הדבר שאנו יכולים לדעת אילו אברים ישנם בקבוצה או שאנו יכולים למנות את כולם. לדוגמא: "שמעון ועזרא" היא קבוצה מוגדרת היטב שכן ברור שהאברים היחידים בקבוצה הם שמעון ועזרא. כך לדוגמא גם "קבוצת כל הכוכבים ביקום" היא קבוצה מוגדרת היטב שכן אומנם איננו מכירים את כל הכוכבים ביקום אבל כל אבר הוא כוכב או שאינו כוכב. עם זאת "קבוצת כל הכוכבים הגדולים" איננה קבוצה מוגדרת היטב שכן "מהו גדול" או "גדול יחסית למה?" ועל כן לא ברור עבור כל כוכב אם הוא אבר בקבוצה או לא, ועבור פרשנויות שונות למושג "גדול" נוכל לקבל שאותו אבר גם שייך לקבוצה וגם לא שייך לה. גם "קבוצת כל החזירים המסוגלים לעוף" היא קבוצה מוגדרת היטב, אך עם זאת ברור למדי שאין בה אברים.

לקבוצה שתי תכונות חשובות:

1. בקבוצה אין סדר לאברים (בניגוד לסדרה למשל). משמעות הדבר היא שאין אבר ראשון, אבר שני וכו'.
2. כל אבר בקבוצה מופיע רק פעם אחת. אם אבר מופיע פעמיים באותה קבוצה אין לכך כל משמעות, שכן אבר שייך לקבוצה או שאינו שייך לקבוצה, אך אין משמעות למושג שייך כמה פעמים לקבוצה. עם זאת, נציין שקבוצה שבה אברים יכולים להופיע מספר פעמים נקראת רב-קבוצה (multiset), אך לא נעסוק בכך.

הגדרת קבוצה

קבוצה ניתן להגדיר באמצעות מספר דרכים עיקריות. הדרך הראשונה היא למנות את כל אברי הקבוצה. מקובל לכתוב את אברי הקבוצה מופרדים בפסיקים בתוך סוגריים מסולסלים. לדוגמא:

• {1,2,3,4}
• {שולחן, כיסא, בית}
• {a,b,c,d,e,f}

דרך זו נוחה לכתיבה כאשר יש מספר קטן של אברים בקבוצה, אך לעתים מספר האברים גדול מאוד או אפילו אינסופי. על-מנת להציג קבוצות כאלו נשתמש בצורה נוספת להגדרת קבוצה, והיא למנות כלל כפי שראינו קודם. לדוגמא:

• {כל המספרים הגדולים מ-1}
• {כל הילדים בישראל מתחת לגיל 10}
• {כל החפצים בבית שלי}

יש כמובן לדאוג שהקבוצה מוגדרת היטב. לעתים בהגדרת קבוצות אין סופיות אנו רושמים מספר אברים ראשונים כך שהכלל המגדיר את הקבוצה ברור ובסוף מוסיפים "...". לדוגמא: ברור שהקבוצה $\{1,2,3,4,\dots \}$ היא קבוצת כל המספרים השלמים החיובים (קבוצת המספרים הטבעיים). לעומת זאת, עבור הקבוצה $\{1,3,5,\dots \}$ לא נוכל לדעת האם מדובר בכל המספרים האי-זוגיים או אולי בכל המספרים האי-זוגיים הראשוניים. על כן גם כשאנו מתארים קבוצה בצורה כזאת יש לשים לב שהקבוצה מוגדרת היטב.

לבסוף נראה צורה נוספת לכתיבת הגדרה של קבוצה שמקובלת במתמטיקה: בתוך הסוגריים המסולסלים נכתוב בצד שמאל כיצד נראים האברים בקבוצה ומימין תופיע התניה כלשהי, כאשר שני החלקים מופרדים בקו אנכי. לדוגמא: הקבוצה {x מספר שלם הגדול מ-0|2x} היא קבוצת כל המספרים 2x כאשר x הוא מספר שלם הגדול מ-0, והיא שווה לקבוצה $\{2,4,6,8,\ldots \}$ ולקבוצה {כל המספרים הזוגיים החיוביים}.

כזכור, בקבוצה אין סדר לאברים ולכן אין חשיבות לסדר הכתיבה. לדוגמא, את הקבוצה שמכילה את האברים 1, 2 ו-3 ניתן לכתוב במספר אופנים: $\{1,2,3\}=\{3,2,1\}=\{1,3,2\}=\{2,3,1\}$ וכו'. כמו כן, אין משמעות לכך שאבר מופיע פעמיים באותה קבוצה. לכן: $\{1,2,3\}=\{1,1,2,3\}=\{2,1,2,1,3,3,1,1,1,2\}$ וכו'.

חשוב לציין שאברי הקבוצה יכולים למעשה להיות כל דבר - אפילו קבוצות אחרות. כך לדוגמא, נוכל להגדיר את הקבוצה $\{1,2,\{3,4\}\}$ , שהיא קבוצה המכילה שלושה אברים - המספרים 1 ו-2, והקבוצה $\{3,4\}$ . באותו אופן נוכל להגדיר קבוצות של קבוצות, כמו "קבוצת כל הקבוצות המכילות אך ורק מספרים", או "קבוצת כל הקבוצות שכל איבריהן הם איברים של $\{0^{2},1^{2},2^{2},...\}$".

נשים לב במיוחד לכך שקבוצה מוגדרת אך ורק על-ידי האברים המוכלים בה. לכן, גם אם הגדרנו שתי קבוצות בצורה שונה אך יש בהן אותם אברים, אז מדובר באותה קבוצה. בהמשך נגדיר באופן פורמלי מהו שוויון בין קבוצות, וככה נראה איך הגדרה זו מתיישבת עם טענה זו. לדוגמא: {כל המספרים השלמים בין 1 ל-5} = {2,3,4}, וכפי שציינו קודם = {2,2,4,3}. כך גם {כל החזירים בעלי הכנפיים} = {כל המספרים השלמים בין 1 ל-0} שכן בשתי הקבוצות אין אברים.

סימונים

נהוג לסמן קבוצות באותיות לטיניות גדולות (למשל: A,B,C) ואברים כאותיות לטיניות קטנות (למשל: a,b,c). כפי שציינו, עבור כל קבוצה A כלשהי ועבור כל עצם x כלשהו, מתקיים אחד מהשניים:

• x אבר ב-A, ומסמנים: $x\in A$ . נאמר גם ש-x שייך ל-A או x ב-A.
• x אינו אבר ב-A, ומסמנים: $x\notin A$ . נאמר גם ש-x אינו שייך ל-A או x אינו ב-A.

את הגודל של קבוצה A, כלומר את מספר האיברים בקבוצה, נסמן כך: $|A|$ . דוגמאות:

• אם $A=\{1,2,3\}$ אז $|A|=3$
• אם {פסנתר כנף, עפיפון, החתול מיצי, הים התיכון, דני} = $A$ אז $|A|=5$

קבוצות חשובות

ישנן קבוצות במתמטיקה שעושים בהן שימוש תדיר, ועל כן הוגדרו להן סימנים מיוחדים. מכיון שהשימוש בהן נפוץ מאוד וגם ימצא בהמשך ספר זה, חשוב להכיר את הקבוצות האלו וכן לזכור את הסימונים.

הקבוצה הריקה

הגדרה: הקבוצה הריקה הקבוצה הריקה המסומנת באות הסקנדינבית $\varnothing$ היא הקבוצה ללא אברים.

למדנו קודם לכן שהקבוצה {כל המספרים השלמים בין 0 ל-1} שווה לקבוצה {כל החזירים בעלי הכנפיים}. ניתן לראות שאכן קבוצות אלו שוות שכן בשתיהן אין כל אבר. קבוצות אלו שוות ל- $\varnothing$ . נדגיש שאין אנו מדברים על קבוצות ריקות אלא על הקבוצה הריקה $\varnothing$ , כל קבוצה ללא אברים היא הקבוצה הריקה.

מספר האברים בקבוצה הריקה הוא אפס. לפי הסימון שהגדרנו קודם: $|\varnothing |=0$ .

קבוצות נוספות

שאר הקבוצות החשובות הנידונות כאן הן קבוצות מסוימות של מספרים. נציין שכשאנו עוסקים בתורת קבוצות מתוך אקסיומות אנו דנים במספרים שונים הנקראים מספרים קרדינליים. אך קיים שימוש רב במושגי הקבוצות בתחומים רבים במתמטיקה מאנליזה ועד אלגברה, ובתחומים אלו נהוג לדבר על הקבוצות הבאות:

• קבוצת המספרים הטבעיים: זוהי קבוצת כל המספרים השלמים החיוביים. היא מסומנת $\mathbb {N}$ ומוגדרת כך: {x מספר שלם חיובי|x}

$\{1,2,3,\ldots \}$

נשים לב שלפי ההגדרה $0\notin \mathbb {N}$ . הקבוצה שמכילה את המספרים הטבעיים וגם את 0 מסומנת $\mathbb {N} ^{0}$ ומוגדרת כך {x מספר חיובי שלם או x שווה ל-0 |x}

$\{0,1,2,3,\ldots \}$

נציין שיש מקומות שבהם מגדירים ש-0 הוא כן מספר טבעי, כלומר $0\in \mathbb {N}$ .

• קבוצת המספרים השלמים: זוהי קבוצת כל המספרים השלמים (חיובים, שליליים ואפס). היא מסומנת $\mathbb {Z}$ ומוגדרת {x מספר שלם|x}

${\Big \{}\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots {\Big \}}$

• קבוצת המספרים הרציונלים: מספר רציונלי הוא מספר שניתן להציגו כ- ${\frac {x}{y}}$ כאשר $x,y$ שלמים. את קבוצת המספרים הרציונלים מסמנים

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {x}{y}}{\Bigg |}x,y\in \mathbb {Z} ,y\neq 0\right\}$

• קבוצת כל המספרים הרציונלים החיוביים:

$\mathbb {Q} ^{+}=\left\{{\frac {x}{y}}{\Bigg |}x,y\in \mathbb {N} \right\}$

• קבוצת כל המספרים הממשיים: הגדרה של קבוצה זו בצורה פורמלית היא לא פשוטה. נאמר בקצרה שמספר ממשי הוא מספר רציונלי או אי-רציונלי. בהפשטה מספר אי-רציונלי הוא מספר שאנחנו יכולים לכתוב אותו בתור שבר עשרוני אין-סופי (כשבכתיבתו אין מבנה) אך לא כשבר פשוט. כל מספר אי-רציונלי נמצא בין שני מספרים שלמים. דוגמאות למספרים אי-רציונלים הם $\pi$ (פאי) ו- ${\sqrt {2}}$ . קבוצת המספרים הממשיים מסומנת $\mathbb {R}$ .
• קבוצת כל המספרים הממשיים מלבד 0: $\mathbb {R} ^{0}$
• קבוצת כל המספרים הממשיים החיוביים: $\mathbb {R} ^{+}$
• קבוצת כל המספרים המרוכבים: $\mathbb {C}$

סימונים חשובים נוספים

ישנם מספר סימונים מתמטיים נוספים מתחום הלוגיקה שחשוב להכיר וגם בהם נעשה שימוש בהמשך.

• קיים: הסימון של קיים הוא $\exists$ . נדגים את השימוש: את הטענה "קיים מספר טבעי גדול מ-4" נכתוב כך: $\exists x\in \mathbb {N} :x>4$
• לכל: סימון: $\forall$ . את הטענה (השקרית) "כל מספר טבעי גדול מ-4" נכתוב כך: $\forall x\in \mathbb {N} :x>4$
• גרירה: המשמעות של א' גורר ב' היא שאם א' מתקיים אז בוודאות גם ב' מתקיים. הסימון של גרירה הוא $\Rightarrow$ . לדוגמא, אם x הוא מספר טבעי אז x גדול מ-0. בכתיב מתמטי: $x\in \mathbb {N} \Rightarrow x>0$
• אם ורק אם: אם ורק אם (בקיצור נהוג לכתוב אם"ם) הוא למעשה גרירה דו-כיוונית. כלומר, "A אם"ם B" משמעו: A גורר B ו-B גורר A. סימון אם"ם הוא $\iff$ .
• וגם: סימון: $\land$ . הטענה "אם x מספר טבעי וגם x קטן מ-5 וגם x גדול מ-3, אזי x שווה 4" בכתיבה מתמטית: $(x>3)\land (x<5)\land x\in \mathbb {N} \Rightarrow x=4$
• או: סימון: $\lor$ . "אם x בריבוע שווה ל-25, אז x שווה לחמש או x שווה למינוס חמש": $x^{2}=25\Rightarrow (x=5)\lor (x=-5)$

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: קבוצה (מתמטיקה)

-

מושג הקבוצה תרגילים

הפרק הבא: יחסים בין קבוצות