ראינו כבר בעבר שאין חשיבות לסדר שבו אברים מצויים בקבוצה. כך לדוגמא,
{
1
,
2
,
3
}
=
{
3
,
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2,3\}=\{3,1,2\}}
הגדרה: בהינתן קבוצות
A
,
B
{\displaystyle A,B}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
(
a
,
b
)
=
{
{
a
}
,
{
a
,
b
}
}
{\displaystyle (a,b)={\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \}}}
על הקורא לנסות לשכנע את עצמו מדוע ההגדרה הזו "נכונה", מהבחינה האינטואטיבית של "קבוצה בעלת חשיבות לסדר". מבחינה פורמלית, הדבר מוכח בטענה הבאה:
טענה
(
a
,
b
)
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle (a,b)=(x,y)}
a
=
x
{\displaystyle a=x}
y
=
b
{\displaystyle y=b}
הוכחה כיוון ראשון, נניח שמתקיים
(
x
,
y
)
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle (x,y)=(a,b)}
לכן, יש שוויון בין הקבוצות
{
{
x
}
,
{
x
,
y
}
}
=
{
{
a
}
,
{
a
,
b
}
}
{\displaystyle {\big \{}\{x\},\{x,y\}{\big \}}={\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \}}}
לכן
{
a
}
=
{
x
}
{\displaystyle \{a\}=\{x\}}
{
a
}
=
{
x
,
y
}
{\displaystyle \{a\}=\{x,y\}}
כיון שבאחת יש 2 אברים (אם לא, אז במקרה
x
=
y
{\displaystyle x=y}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
{
x
,
y
}
=
{
a
,
b
}
{\displaystyle \{x,y\}=\{a,b\}}
ומהשוויון הראשון בהכרח מתקיים
y
=
b
{\displaystyle y=b}
a
≠
b
⇒
(
a
,
b
)
≠
(
b
,
a
)
{\displaystyle a\neq b\ \Rightarrow \ (a,b)\neq (b,a)}
כלומר יש חשיבות לסדר.
המכפלה הקרטזית [ עריכה ] כעת נשתמש בהגדרה הנ"ל כדי לבנות משתי קבוצות נתונות
A
,
B
{\displaystyle A,B}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
A
×
B
=
{
(
a
,
b
)
|
a
∈
A
,
b
∈
B
}
{\displaystyle A\times B={\Big \{}(a,b){\Big |}a\in A,b\in B{\Big \}}}
כלומר, המכפלה הקרטזית היא אוסף כל הזוגות הסדורים, שהאבר הראשון שלהם הוא מ-
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
נסתכל על הקבוצות
A
=
{
0
,
1
}
,
B
=
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle A=\{0,1\}\ ,\ B=\{a,b,c\}}
A
×
B
=
{
(
0
,
a
)
,
(
0
,
b
)
,
(
0
,
c
)
,
(
1
,
a
)
,
(
1
,
b
)
,
(
1
,
c
)
}
{\displaystyle A\times B={\Big \{}(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c){\Big \}}}
כאשר
A
,
B
{\displaystyle A,B}
B
×
A
=
{
(
a
,
0
)
,
(
a
,
1
)
,
(
b
,
0
)
,
(
b
,
1
)
,
(
c
,
0
)
,
(
c
,
1
)
}
{\displaystyle B\times A={\Big \{}(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(c,0),(c,1){\Big \}}}
הכללה למספר סופי של קבוצות [ עריכה ] בהינתן קבוצות
A
1
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}
A
1
×
⋯
×
A
n
=
{
(
a
1
,
…
,
a
n
)
|
a
1
∈
A
1
,
…
,
a
n
∈
A
n
}
{\displaystyle A_{1}\times \cdots \times A_{n}={\Big \{}(a_{1},\ldots ,a_{n}){\Big |}a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}{\Big \}}}
כמו כן, כאשר מכפילים קרטזית קבוצה
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
A
n
{\displaystyle A^{n}}
מאוחר יותר כשנדבר על פונקציות נוכל באמת להכליל את המושג של זוג סדור ושל מכפלה קרטזית בצורה יותר פורמאלית, לאוסף כלשהו (סופי או אינסופי) של קבוצות.
תכונות של המכפלה הקרטזית [ עריכה ] כבר בדוגמאות ראינו שבדרך-כלל לא יתקיים
A
×
B
=
B
×
A
{\displaystyle A\times B=B\times A}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
A
×
(
B
×
C
)
≠
(
A
×
B
)
×
C
≠
A
×
B
×
C
{\displaystyle A\times (B\times C)\neq (A\times B)\times C\neq A\times B\times C}
A
×
(
B
∪
C
)
=
A
×
B
∪
A
×
C
{\displaystyle A\times (B\cup C)=A\times B\cup A\times C}
A
×
(
B
∖
C
)
=
A
×
B
∖
(
A
×
C
)
{\displaystyle A\times (B\setminus C)=A\times B\setminus (A\times C)}
A
×
(
B
∩
C
)
=
A
×
B
∩
A
×
C
{\displaystyle A\times (B\cap C)=A\times B\cap A\times C}
A
×
(
B
Δ
C
)
=
A
×
B
Δ
A
×
C
{\displaystyle A\times (B\Delta C)=A\times B\Delta A\times C}
(
α
⊂
A
)
∧
(
β
⊂
B
)
⟺
(
α
×
β
)
⊂
(
A
×
B
)
{\displaystyle (\alpha \subset A)\land (\beta \subset B)\iff (\alpha \times \beta )\subset (A\times B)}
