לדלג לתוכן

תורת הקבוצות/מכפלה קרטזית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

ראינו כבר בעבר שאין חשיבות לסדר שבו אברים מצויים בקבוצה. כך לדוגמא, . היינו רוצים מושג שיעזור לנו להגדיר את המושג של "קבוצה סדורה", כפי שאנחנו מבינים אותו. כלומר, "קבוצה" שבה יש חשיבות לסדר. זוהי מטרתו העיקרית של הפרק הזה.

זוג סדור

[עריכה]

הגדרה: בהינתן קבוצות ואברים בהם בהתאמה, נגדיר את הזוג הסדור:

על הקורא לנסות לשכנע את עצמו מדוע ההגדרה הזו "נכונה", מהבחינה האינטואטיבית של "קבוצה בעלת חשיבות לסדר". מבחינה פורמלית, הדבר מוכח בטענה הבאה:

טענה

אם ורק אם וגם

הוכחה

כיוון ראשון, נניח שמתקיים

לכן, יש שוויון בין הקבוצות

לכן

או

כיון שבאחת יש 2 אברים (אם לא, אז במקרה הטענה נכונה בהכרח), בהכרח. מכאן

ומהשוויון הראשון בהכרח מתקיים כנדרש.


נשים לב שתחת ההגדרה הזו, מתקיים

כלומר יש חשיבות לסדר.

המכפלה הקרטזית

[עריכה]

כעת נשתמש בהגדרה הנ"ל כדי לבנות משתי קבוצות נתונות קבוצה חדשה, שתיקרא המכפלה הקרטזית של והיא מסומנת ומוגדרת כדלהלן:

כלומר, המכפלה הקרטזית היא אוסף כל הזוגות הסדורים, שהאבר הראשון שלהם הוא מ- והאבר השני שלהם הוא מ- .

דוגמאות

[עריכה]
  • נסתכל על הקבוצות אזי נקבל כי:
  • כאשר אותן קבוצות מהדוגמא הקודמת, נקבל כי:

הכללה למספר סופי של קבוצות

[עריכה]

בהינתן קבוצות נגדיר את המכפלה הקרטזית שלהן להיות:

כמו כן, כאשר מכפילים קרטזית קבוצה בעצמה פעמים, נהוג לסמן זאת באמצעות .

מאוחר יותר כשנדבר על פונקציות נוכל באמת להכליל את המושג של זוג סדור ושל מכפלה קרטזית בצורה יותר פורמאלית, לאוסף כלשהו (סופי או אינסופי) של קבוצות.

תכונות של המכפלה הקרטזית

[עריכה]

כבר בדוגמאות ראינו שבדרך-כלל לא יתקיים כאשר קבוצות כלשהן. חלק מהתכונות להלן מושארות לקורא כתרגיל:


הפרק הקודם:
פעולות על קבוצות
מכפלה קרטזית הפרק הבא:
קבוצת החזקה