ראינו כבר בעבר שאין חשיבות לסדר שבו אברים מצויים בקבוצה. כך לדוגמא,
. היינו רוצים מושג שיעזור לנו להגדיר את המושג של "קבוצה סדורה", כפי שאנחנו מבינים אותו. כלומר, "קבוצה" שבה יש חשיבות לסדר. זוהי מטרתו העיקרית של הפרק הזה.
הגדרה: בהינתן קבוצות
ואברים בהם
בהתאמה, נגדיר את הזוג הסדור:
על הקורא לנסות לשכנע את עצמו מדוע ההגדרה הזו "נכונה", מהבחינה האינטואטיבית של "קבוצה בעלת חשיבות לסדר". מבחינה פורמלית, הדבר מוכח בטענה הבאה:
- טענה
אם ורק אם
וגם
- הוכחה
כיוון ראשון, נניח שמתקיים
![{\displaystyle (x,y)=(a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5896fb023bd675000754574ad256d25d04c01a59)
לכן, יש שוויון בין הקבוצות
![{\displaystyle {\big \{}\{x\},\{x,y\}{\big \}}={\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6bfe8fad048cbc672a9ae7e70756b0531300e2c)
לכן
או ![{\displaystyle \{a\}=\{x,y\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca22c1af595d2515d77ddcce98521e9b33b31682)
כיון שבאחת יש 2 אברים (אם לא, אז במקרה
הטענה נכונה בהכרח),
בהכרח.
מכאן
![{\displaystyle \{x,y\}=\{a,b\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53e95a8453dd907a5680420003baaca3c4c6d31)
ומהשוויון הראשון בהכרח מתקיים
כנדרש.
נשים לב שתחת ההגדרה הזו, מתקיים
![{\displaystyle a\neq b\ \Rightarrow \ (a,b)\neq (b,a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83fe96a6eca22696d79a8b4527085bb01eceecb6)
כלומר יש חשיבות לסדר.
כעת נשתמש בהגדרה הנ"ל כדי לבנות משתי קבוצות נתונות
קבוצה חדשה, שתיקרא המכפלה הקרטזית של
והיא מסומנת ומוגדרת כדלהלן:
כלומר, המכפלה הקרטזית היא אוסף כל הזוגות הסדורים, שהאבר הראשון שלהם הוא מ-
והאבר השני שלהם הוא מ-
.
- נסתכל על הקבוצות
אזי נקבל כי:
![{\displaystyle A\times B={\Big \{}(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c){\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f30d6e9f2217746130cccf81d02ff49ec18ff8)
- כאשר
אותן קבוצות מהדוגמא הקודמת, נקבל כי:
![{\displaystyle B\times A={\Big \{}(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(c,0),(c,1){\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b49cf7ca81fa0572d193a79b030be24f842ff9)
הכללה למספר סופי של קבוצות
[עריכה]
בהינתן קבוצות
נגדיר את המכפלה הקרטזית שלהן להיות:
כמו כן, כאשר מכפילים קרטזית קבוצה
בעצמה
פעמים, נהוג לסמן זאת באמצעות
.
מאוחר יותר כשנדבר על פונקציות נוכל באמת להכליל את המושג של זוג סדור ושל מכפלה קרטזית בצורה יותר פורמאלית, לאוסף כלשהו (סופי או אינסופי) של קבוצות.
תכונות של המכפלה הקרטזית
[עריכה]
כבר בדוגמאות ראינו שבדרך-כלל לא יתקיים
כאשר
קבוצות כלשהן. חלק מהתכונות להלן מושארות לקורא כתרגיל:
![{\displaystyle A\times (B\times C)\neq (A\times B)\times C\neq A\times B\times C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d1ed4f9a79cd57c63ce2f29f60004122708408)
![{\displaystyle A\times (B\cup C)=A\times B\cup A\times C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a636c25c4d7b64530774477e2a040861280292)
![{\displaystyle A\times (B\setminus C)=A\times B\setminus (A\times C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/919ce22757aa7e4ef55b2f9fb63bf3f4d4aae96f)
![{\displaystyle A\times (B\cap C)=A\times B\cap A\times C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f5995c6adc3d45425f1731690061a61188aae6)
![{\displaystyle A\times (B\Delta C)=A\times B\Delta A\times C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b148d0e69f61446a2ca767d3255217221c29a07)
![{\displaystyle (\alpha \subset A)\land (\beta \subset B)\iff (\alpha \times \beta )\subset (A\times B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f3f789d21bd48325514e7cd79879b7954e07d1)