- משפט
תהי
פונקציה רציפה בקטע הסגור
וגזירה בקטע הפתוח
. אזי קיימת נקודה
עבורה
.
- הוכחה ישירה
תהי
משוואת הישר העובר בנקודות
, רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה
.
נגדיר פונקציה נוספת
, רציפה בקטע
כהפרש פונקציות רציפות, גזירה בקטע
כהפרש פונקציות גזירות, ומקיימת
.
מקיימת את שלושת תנאי משפט רול, לפיכך קיימת נקודה
עבורה
:

- הוכחה באמצעות משפט הערך הממוצע של קושי
משפט הערך הממוצע של קושי מהווה הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומוכח ללא תלות במשפט לגראנז'.
אם
רציפות בקטע
, גזירות בקטע
ומתקיים
לכל
, אזי קיימת נקודה
עבורה
.
היא פונקציה רציפה וגזירה על כל הישר הממשי ונגזרתה לא מתאפסת אף פעם, לכן ניתן להשתמש עליה במשפט קושי ונקבל:
