הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט הערך הממוצע של לגראנז'

משפט

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ וגזירה בקטע הפתוח $(a,b)$ . אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ .

הוכחה ישירה

תהי $y(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)$ משוואת הישר העובר בנקודות ${\bigl (}a,f(a){\bigr )},{\bigl (}b,f(b){\bigr )}$ , רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה $y'(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ .

נגדיר פונקציה נוספת $h(x)=f(x)-y(x)$ , רציפה בקטע $[a,b]$ כהפרש פונקציות רציפות, גזירה בקטע $(a,b)$ כהפרש פונקציות גזירות, ומקיימת $h(a)=h(b)=0$ .

$h(x)$ מקיימת את שלושת תנאי משפט רול, לפיכך קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $h'(c)=0$ :

$$h'(c)=f'(c)-y'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0\quad \Rightarrow \quad f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$$

$\blacksquare$

הוכחה באמצעות משפט הערך הממוצע של קושי

משפט הערך הממוצע של קושי מהווה הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומוכח ללא תלות במשפט לגראנז'.

אם $f,g$ רציפות בקטע $[a,b]$ , גזירות בקטע $(a,b)$ ומתקיים $g'(x)\neq 0$ לכל $x\in (a,b)$ , אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה ${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$ .

$g(x)=x$ היא פונקציה רציפה וגזירה על כל הישר הממשי ונגזרתה לא מתאפסת אף פעם, לכן ניתן להשתמש עליה במשפט קושי ונקבל:

$${\frac {f'(c)}{1}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$$

$\blacksquare$