- משפט
תהיינה
פונקציות רציפות בקטע הסגור
, גזירות בקטע הפתוח
ומתקיים
לכל
.
אזי קיימת נקודה
עבורה
.
- הוכחה
תהי
משוואת הישר העובר בנקודות
, רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה
.
נגדיר פונקציה נוספת
, רציפה בקטע
כהפרש פונקציות רציפות, גזירה בקטע
כהפרש פונקציות גזירות ומקיימת
.
מקיימת את שלושת תנאי משפט רול, לפיכך קיימת נקודה
עבורה
:
![{\displaystyle h'(c)=f'(c)-y'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g'(c)=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2d342fd3310a11b596d3a5483a6c5a52bf0dbd)