מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

בפרק הקודם, הנגזרת, למדנו מהי נגזרת וכיצד ניתן למצוא אותה. עתה, נלמד נוסחאות שונות, עבור פונקציות מסוימות, שחוסכות מאיתנו ביצוע חישוב מורכב בכל פעם, ושמקצרות את תהליך החישוב.

נזכיר: את הנגזרות נמצא באמצעות חישוב ערך המשיק $\ m=\frac{y-y_0}{x-x_0}$ כאשר הנקודה $\ (x,y)$ מתקרבת לנקודה $\ (x_0,y_x)$ .

בדף זה נשתמש בסימון הבא: את נגזרת הפונקציה $\ f(x)$ נסמן כך: $\ (f(x))'=..$ . דוגמה: $\ (mx+n)'=m$ (יוכח בהמשך).

[עריכה] רשימת נגזרות

פונקציה קבועה: $\ y=c$

הנגזרת: $\ (c)'=0$ . הנגזרת של פונקציה קבועה היא לעולם אפס!

אינטואיציה: פונקציה קבועה היא פונקציה שערך ה- $\ y$ שלה לא תלוי ב- $\ x$ (הוא תמיד c). זהו קו ישר אופקי, ושיפועו של קו כזה הוא אפס (בכל מקום). ניתן לראות זאת מחישוב השיפוע: $\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{c-c}{x_2-x_1}=0$ .

קו ישר: $\ y=ax+b$

הנגזרת: $\ (ax+b)'=a$ . הנגזרת של קו ישר (פונקציה ליניארית) היא קבועה - $\ a$ . ערכה, לא במפתיע, שווה לשיפוע הישר. נשים לב שערך זה לא תלוי בקבוע $\ b$ .

הערה: נשים לב שהביטוי שקיבלנו מתאים לכלל הנגזרת הראשון: פונקציה קבועה היא מקרה פרטי של ישר בו $\ a=0$ , ואכן, ערך הנגזרת שקיבלנו כאן הוא $\ a$ , כלומר אפס, בדיוק כמו שקיבלנו קודם.

חזקה: $\ y=x^n$

הנגזרת: $\ (x^n)'=nx^{n-1}$ .

הערה: נשים לב שביטוי זה מתאים לביטוי שמצאנו קודם לכן. קו ישר מהצורה $\ y=x$ (כלומר בעל הפרמטרים $\ a=1, b=0$ ) הוא מקרה פרטי של פולינום שעבורו n=1. לפי הכלל, הנגזרת היא $(x)'=(x^1)'=1 \cdot x^0=1 \cdot 1 = 1$ , בדיוק כמו $\ a$ .

שורש ריבועי: $\ y=\sqrt{x}$

הנגזרת: $\ (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

הערה: ניתן לחשב זאת באמצעות הנוסחה הקודמת: הוצאת שורש ריבועי שקולה להעלאה בחזקת חצי: $\ \sqrt{x}=x^{1/2}$ . לכן, מתוך הכלל: $\ (\sqrt{x})'=(x^{1/2})'=\frac{1}{2} \cdot x^{-1/2}=\frac{1}{2 \cdot x^{1/2}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

פונקצית הופכי: $\ y=1/x$

הנגזרת: $\ (\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}$ .

הערה: ניתן לחשב גם את הנוסחה הזו באמצעות הנוסחה עבור חזקה: $\ (\frac{1}{x})'=(x^{-1})'=(-1)\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ .

סינוס: $\ y=sin x$

הנגזרת: $\ (sin x)'=cos x$

'קוסינוס: $\ y=cos x$

הנגזרת: $\ (cos x)'=-sin x$

[עריכה] כללי נגזרות

סכום של פונקציות: בהינתן שתי פונקציות, $\ f(x)$ ו- $\ g(x)$ , הנגזרת של סכומן היא:

$\ [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)$ .

כלומר, נגזרת הסכום היא סכום הנגזרות. באופן דומה, הנגזרת של הפרש של שתי פונקציות היא הפרש הנגזרות של הפונקציות: $\ [f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)$ .
הכפלה בקבוע: בהינתן פונקציה $\ f(x)$ וקבוע $\ c$ (מספר שלא תלוי ב- $\ x$ ), הנגזרת של מכפלת הקבוע בפונקציה היא:

$\ [cf(x)]'=cf'(x)$

כלומר, ניתן לגזור את הפונקציה ללא הקבוע, ואז להכפיל חזרה בקבוע.

נגזרת של מכפלה: בהינתן שתי פונקציות $\ f(x)$ ו- $\ g(x)$ , הנגזרת של מכפלתן היא:

$\ [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

כלומר, יש לגזור את הפונקציה הראשונה, ולהכפיל בשנייה, ולהוסיף לזה את הפונקציה הראשונה מוכפלת בנגזרת הפונקצייה השנייה.

נגזרת של מנה: בהינתן שתי פונקציות $\ f(x)$ ו- $\ g(x)$ , הנגזרת של המנה שלהן היא:

$\ [\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

פונקציה מורכבת: תחילה נסביר מהי פונקציה מורכבת. פונקציה מורכבת היא פונקציה המורכבת למעשה משתי פונקציות. כך, לוקחים את ערך ה- $\ x$ בו אנו מעוניינים, מציבים אותו בפונקציה הראשונה, ואת התוצאה שקיבלנו מציבים בפונקציה השנייה. אם נסמן את הפונקציה הראשונה $\ h=g(x)$ ואת השנייה $\ f(x)$ נקבל שהפונקציה הכוללת היא: $\ y=f(g(x))=f(h)$ .

הנגזרת: $\ [f(g(x))]'=f'(h)g'(x)$ .

זהו הכלל המורכב מבין כולם. מומלץ לראות דוגמאות של יישומו בהמשך.