מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות פשוטות בנעלם אחד

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | משוואות

תוכן עניינים

1 משוואות פשוטות בנעלם אחד

[עריכה] משוואות פשוטות בנעלם אחד

[עריכה] פתרון משואות

כעת נראה שיטה כללית שבעזרתה ניתן לפתור כל משוואה בנעלם יחיד. כל עוד נעבוד לפי שיטה זו נראה שתמיד ניתן למצוא פתרון למשוואה. כלומר תמיד נוכל למצוא מספר שנוכל לשים במקום הנעלם והמשוואה תהפוך לשוויון ברור מאליו כמו למשל $\ 3=3$ .
ראשית, נדגיש שמכיוון שבשני הצדדים של המשוואה כתוב בעצם אותו המספר בדיוק, הרי שאם נבצע את אותה פעולה על שני הצדדים, הם עדיין יהיו שווים אחד לשני, כי למעשה ביצענו את אותה פעולה על אותם המספרים. נוכל לדמות זאת למאזניים שבכל צד ישנו אותו משקל. ברור שאם המאזניים מאוזנים (כלומר קיים אותו מספר בשני צידי השוויון) אז כל הוספה של משקלים שווים לשתי הכפות של המאזניים לא תפר את שיווי המשקל שלה. כך גם הכפלה של המשקלים בשני הצדדים וכו'. אנו ננצל עובדה זו לפתרון כמעט כל סוגי המשוואות ובפרט גם סוג פשוט זה.

[עריכה] חילוץ הנעלם

חילוץ הנעלם הינה פעולה שבה אנו מביאים משוואה למצב שבו ברור מאליו לאיזה ערך מספרי מתאים הנעלם. במילים אחרות, זהו מצב שבו הנעלם נמצא בצד אחד של המשוואה, ואילו בצד השני מופיעים רק קבועים. ניקח לדוגמא את המקרה של המשוואה הבאה:

$\ x+3=5$

זוהי משוואה פשוטה למדי שקל לנחש איזה מספר צריך להציב במקום הנעלם $\ x$ על מנת לקבל שוויון מובן מאליו, אך נשתמש בה כדי להדגים את פעולת חילוץ הנעלם ופתירת המשוואה.

[עריכה] חיבור או חיסור במספר כלשהו

ברור מאנלוגית המאזניים שלנו, שכל חיבור או חיסור של מספר כלשהו משני הצדדים (מרגע זה אנו נקרא לצדדים אגפים) של המשוואה לא ישנה את עובדת השוויון. מכיוון שאנו מעוניינים לחלץ את הנעלם, אנו מעוניינים שהנעלם יהיה בצד אחד ללא קבועים לכן נרצה לחסר מאגף שמאל של המשוואה את הקבוע $\ 3$ אך מכיוון שלא ניתן לחסר רק מאגף שמאל ועדיין לשמור על השוויון הרי שחובה עלינו גם לחסר את אותו מספר גם מאגף ימין. נקבל:

$\ (x+3)-3=(5)-3$

כדאי לדעת:

הדרך הנפוצה "להיפטר" מאיבר חופשי היא העברת אגף, לוקחים את המספר ומעבירים אותו לאגף השני ומשנים לו את הסימן. זאת בעצם הפעולה שעשינו עכשיו אחרי שמחשבים את צד שמאל, האיבר נעלם כי מחסרים אותו באותו המספר ומצד שמאל מופיע המספר הנגדי של האיבר.

ולאחר חישוב פשוט נגיע למשוואה:

$\ x=2$

וזהו! פתרנו את המשוואה ומצאנו לאיזה מספר $\ x$ שווה. עכשיו ננסה לפתור משוואה שלאיקס יש מקדם.

[עריכה] חילוץ נעלם עם מקדם

המקדם זהו המספר המוכפל בנעלם, במקרה שלנו $\ x$ .
במשוואות כאלה גם אם נבודד את הנעלם עדיין לא נקבל משוואה ברורה של מה $\ x$ שווה. לכן אחרי שנבודד נעשה פעולה נוספת. ניקח לדוגמא את המקרה של המשוואה הבאה:

$\ \frac{3}{4} x +\frac{5}{3}=2-1$

נתחיל לפתור אותה כמו שפתרנו את המשוואה הקודמת, בהתחלה נעביר אגף את האיבר החופשי:

$\frac{3}{4} x=2-1-\frac{5}{3}$
$\frac{3}{4} x=-\frac{2}{3}$

כעת יש לנו את הנעלם באגף שמאל וקבוע באגף ימין אך לא סיימנו, מכיוון שהנעלם אינו חופשי. הוא מוכפל בשלושה רבעים. על מנת לפתור זאת חילוק:

אנו מעוניינים לסלק את המקדם של $\ x$ או במילים אחרות להפכו ל-1. כדי לעשות זאת כל שעלינו לעשות זה לחלק את הנעלם במספר שהוא מוכפל בו, אך אנחנו לא יכולים לעשות פעולה מסויימת רק על צד אחד כמו שכבר למדנו אז נבצע אותה על שני הצדדים:

$\frac{3}{4} x=-\frac{2}{3}$
$\left(\frac{3}{4}x\right):\frac{3}{4}=\left(-\frac{2}{3}\right):\frac{3}{4}$
$\frac{3}{4}x\cdot\frac{4}{3}=-\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}$
$1\cdot x=-\frac{8}{9}$
$x=-\frac{8}{9}$