הסתברות/פונקציות של וקטורים אקראיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

1 תוחלת של טרנספורמציה
- 1.1 תכונות
- 1.2 דוגמאות
2 פונקציות של וקטורים אקראיים
- 2.1 דוגמאות

[עריכה] תוחלת של טרנספורמציה

משפט: תוחלת של פונקציה של וקטור

יהי $\ \vec{X}=(X_1,...,X_n)$ וקטור אקראי בעל פונקצית הצפיפות $\ f_{\vec{X}}(x_1,...,x_n)$ , ותהי h טרנספורמציה $\ h:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ . אז התוחלת של $\ Y=h(X_1,...,X_n)$ היא: $\ \mathbb{E}Y= \int\limits_{-\infty}^{\infty}...\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(X_1,...,X_n)f_{\vec{X}}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$ .
במקרה הדיסקרטי: אם Y מקבל את הערכים הבדידים $\ \vec{X}_i$ בהסתברות p_i, אז התוחלת של Y היא: $\ \mathbb{E}Y= \sum h(\vec{X}_i)p_i$ .

[עריכה] תכונות

תוחלת של סכום היא תמיד סכום התוחלות (כאשר הן קיימות): $\ \mathbb{E}(X+Y)= \mathbb{E}X+ \mathbb{E}Y$ .
עבור מ"מ בלתי-תלויים, תוחלת של מכפלה היא מכפלת התוחלות: $\ \mathbb{E}XY= \mathbb{E}X \mathbb{E}Y$ .

[עריכה] דוגמאות

יהיו X,Y מ"מ בלתי תלויים. נתון כי $\ \mathbb{E}X<\infty\ ,\ \mathbb{E}Y<\infty$ . הוכח כי $\ \mathbb{E}XY= \mathbb{E}X \mathbb{E}Y$ .

פתרון: נשתמש בהגדרת התוחלת ואז (בזכות אי התלות) נפרק את פונקצית הצפיפות המשותפת לפונקציות הצפיפות השוליות:

$\ \mathbb{E}XY= \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} xyf_{X,Y}(x,y) dxdy= \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} xf_X(x)yf_Y(y) dxdy=$

$\ =\int\limits_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx \int\limits_{-\infty}^{\infty} yf_Y(y)dy= \mathbb{E}X \mathbb{E}Y$

יהיו X,Y ו"א בלתי תלויים כך ש- $\ X,Y\sim U[0,1]$ . מהי התוחלת ומהי השונות של שטח המלבן הנוצר על ידי הנקודות (X,Y),(0,0)?

פתרון: נגדיר $\ S=XY$ כשטח המלבן ואז:

$\ \mathbb{E}S= \mathbb{E}(XY)= \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 xyf_X(x)f_Y(y) dxdy= \int\limits_0^1 xf_X(x)dx \int\limits_0^1 yf_Y(y)dy= \mathbb{E}X\mathbb{E}Y= {1\over 4}$

שימו לב כי קיבלנו שהמשתנים בלתי תלויים, אבל זה לא מפתיע כי הקטעים המגדירים את התחום מקבילים לצירים.

כעת נחשב את השונות:

$\ VarS= \mathbb{E}S^2- (\mathbb{E}S)^2= \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 x^2y^2dxdy - \left({1\over 4}\right)^2= {1\over 9}- {1\over 16}= {7\over 144}$

[עריכה] פונקציות של וקטורים אקראיים

{{משפט|שם=פונקציה של וקטור אקראי|תוכן=אם $\ h:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ חח"ע וגזירה ו- $\ \left| {\partial x_1,...,x_n\over \partial h_1,...,h_n} \right| \neq 0$ לכל $\ \vec{X}\in\mathbb{R}^n$ , אז הצפיפות של Y היא:

$\ f_{\vec{Y}}(y_1,...,y_n)= \left| {\partial x_1,...,x_n\over \partial h_1,...,h_n} \right| f_{\vec{X}}(h^{-1}(y_1,...,y_n))$

[עריכה] דוגמאות

(להשלים)

הסתברות/פונקציות של וקטורים אקראיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] תוחלת של טרנספורמציה

[עריכה] תכונות

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] פונקציות של וקטורים אקראיים

[עריכה] דוגמאות

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא