הסתברות/דף נוסחאות

מתוך ויקיספר
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אי שיוויונים[עריכה]

  • Boole's inequality - איחוד תחת P:
\ \mathbb{P}(A_1\cup A_2\cup...\cup A_n)\le \mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)+...+ \mathbb{P}(A_n)

ושויון מתקיין אם \ A_i \cap A_j = \Phi לכל \ i \neq j.

  • Bonferroni's inequality - איחוד-חיתוך:
\ \mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right)\ge \sum\limits_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)- \sum\limits_{i<j} \mathbb{P}(A_i\cap A_j)
  • דה מורגן:
\ \mathbb{P}(A_1\cap ...\cap A_n)\ge\mathbb{P}(A_1)+ ...+\mathbb{P}(A_n)-(n-1)
  • סטייה ריבועית מינימלית מהתוחלת:
\ \mathbb{E}(X-a)^2\ge \mathbb{E}(X-\mu)^2
  • מומנטים (נובע מאי שליליות של השונות):
\ \mathbb{E}X^2\ge (\mathbb{E}X)^2
  • צ'בישב:
\ \mathbb{P}(|x-\mu_x|>a\sigma_x)<{1\over a^2}\ ,\ \mathbb{P}(|x-\mu_x|>b)<{\sigma_x^2\over b^2}
  • מרקוב (לכל מ"מ אי-שלילי ולכל a>0) מתקיים:
\ \mathbb{P}(x\ge a)\le {\mathbb{E}(X)\over a}
  • ינסן (אם h קמורה):
\ \mathbb{E}h(X)\ge h(\mathbb{E}X)
  • קושי-שוורץ:
\ |\sigma_{X,Y}|\le \sigma_X\sigma_Y

נוסחאות טרנספורמציה[עריכה]

  • פונקציה של משתנה מקרי: אם פונקציה h מונוטונית ממש וגזירה בתומך של X ו-Y=h(X) אז ל-Y יש צפיפות בתנאי של-X יש צפיפות והיא: \ f_Y(y)=|h^{-1}(y)'|f_X(h^{-1}(y))
  • פונקציה של וקטור אקראי: אם \ h:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n חח"ע וגזירה, והיעקוביאן שונה מאפס, אז הצפיפות של Y היא:
\ f_{\vec{Y}}(y_1,...,y_n)= \left| {\partial x_1,...,x_n\over \partial h_1,...,h_n} \right| f_{\vec{X}}(h^{-1}(y_1,...,y_n))
  • תוחלת של טרנספורמציה: אם X,Y מ"מ, ו-Y=h(X) רציפה למקוטעין אז ל-Y יש תוחלת בתנאי של-X יש תוחלת והיא: \ \mathbb{E}h(X)=\mathbb{E}Y=\int\limits_{-\infty}^\infty h(x)f_X(x)dx
  • תוחלת של טרנספורמציה של ו"א: יהי \ (X_1,X_2,...,X_n) ו"א רציף, ויהי \ Y=h(X_1,X_2,...,X_n), אז \ \mathbb{E}Y= \int...\int h(X_1,X_2,...,X_n)f_{X_1,X_2,...,X_n}(x_1,x_1,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n.

כללי[עריכה]

  • נוסחת ההסתברות השלמה:
  • במקרה הבדיד (B=Ω):
\ \mathbb{P}(A)= \sum\limits_{i=1}^n \mathbb{P}(A|B_i)\mathbb{P}(B_i)
  • במקרה הרציף:
\ f_X(x)= \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X|Y}(x|y)f_Y(y)
  • נוסחת בייס:
  • במקרה הבדיד:
\ \mathbb{P}(A|B)= {\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A)\over \mathbb{P}(B)}
  • במקרה הרציף:
\ f_{X|Y}(x|y)= {f_{Y|X}(y|x)f_X(x)\over f_Y(y)}
  • שונות של משתנים שאינם בלתי-תלויים:
\ Var\left( \sum\limits_{i=1}^n X_i \right)= \sum\limits_{i=1}^n Var(X_i)+ \sum\limits_{i\neq j}^n Cov(X_i,X_j)

טורים שימושיים[עריכה]

סדרה הנדסית (\ |x|<1):

\ \sum_{n=0}^\infty x^n={1\over 1-x}\quad,\quad \sum_{n=0}^\infty x^{2n}={x\over 1-x^2}

סדרה חשבונית:

\ 1+2+...+n={n(n+1)\over 2}

טור חזקות סופי:

\ 1+n+n^2+...+n^k={1-n^{k+1}\over 1-n}\ ,\ n\neq 1

טור טיילור לאקספוננט:

1+x+{x^2\over 2!}+{x^3\over 3!}+...=\sum_{n=0}^\infty {x^n\over n!}=e^x

הפיתוח הבינומי:

 (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} y^k

אינטגרלים שימושיים[עריכה]

\ \int\limits_0^\infty x^ne^{-ax}={n!\over a^{n+1}}


הפרק הקודם:
חזאים
דף נוסחאות -