הסתברות/דף נוסחאות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< הסתברות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

1 אי שיוויונים
2 נוסחאות טרנספורמציה
3 כללי
4 טורים שימושיים
5 אינטגרלים שימושיים

[עריכה] אי שיוויונים

Boole's inequality - איחוד תחת P:

$\ \mathbb{P}(A_1\cup A_2\cup...\cup A_n)\le \mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(A_2)+...+ \mathbb{P}(A_n)$

ושויון מתקיין אם $\ A_i \cap A_j = \Phi$ לכל $\ i \neq j$ .

Bonferroni's inequality - איחוד-חיתוך:

$\ \mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right)\ge \sum\limits_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)- \sum\limits_{i<j} \mathbb{P}(A_i\cap A_j)$

דה מורגן:

$\ \mathbb{P}(A_1\cap ...\cap A_n)\ge\mathbb{P}(A_1)+ ...+\mathbb{P}(A_n)-(n-1)$

סטייה ריבועית מינימלית מהתוחלת:

$\ \mathbb{E}(X-a)^2\ge \mathbb{E}(X-\mu)^2$

מומנטים (נובע מאי שליליות של השונות):

$\ \mathbb{E}X^2\ge (\mathbb{E}X)^2$

צ'בישב:

$\ \mathbb{P}(|x-\mu_x|>a\sigma_x)<{1\over a^2}\ ,\ \mathbb{P}(|x-\mu_x|>b)<{\sigma_x^2\over b^2}$

מרקוב (לכל מ"מ אי-שלילי ולכל a>0) מתקיים:

$\ \mathbb{P}(x\ge a)\le {\mathbb{E}(X)\over a}$

ינסן (אם h קמורה):

$\ \mathbb{E}h(X)\ge h(\mathbb{E}X)$

קושי-שוורץ:

$\ |\sigma_{X,Y}|\le \sigma_X\sigma_Y$

[עריכה] נוסחאות טרנספורמציה

פונקציה של משתנה מקרי: אם פונקציה h מונוטונית ממש וגזירה בתומך של X ו-Y=h(X) אז ל-Y יש צפיפות בתנאי של-X יש צפיפות והיא: $\ f_Y(y)=|h^{-1}(y)'|f_X(h^{-1}(y))$
פונקציה של וקטור אקראי: אם $\ h:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ חח"ע וגזירה, והיעקוביאן שונה מאפס, אז הצפיפות של Y היא:

$\ f_{\vec{Y}}(y_1,...,y_n)= \left| {\partial x_1,...,x_n\over \partial h_1,...,h_n} \right| f_{\vec{X}}(h^{-1}(y_1,...,y_n))$

תוחלת של טרנספורמציה: אם X,Y מ"מ, ו-Y=h(X) רציפה למקוטעין אז ל-Y יש תוחלת בתנאי של-X יש תוחלת והיא: $\ \mathbb{E}h(X)=\mathbb{E}Y=\int\limits_{-\infty}^\infty h(x)f_X(x)dx$
תוחלת של טרנספורמציה של ו"א: יהי $\ (X_1,X_2,...,X_n)$ ו"א רציף, ויהי $\ Y=h(X_1,X_2,...,X_n)$ , אז $\ \mathbb{E}Y= \int...\int h(X_1,X_2,...,X_n)f_{X_1,X_2,...,X_n}(x_1,x_1,...,x_n)dx_1dx_2...dx_n$ .

[עריכה] כללי

נוסחת ההסתברות השלמה:

במקרה הבדיד (B=Ω):

$\ \mathbb{P}(A)= \sum\limits_{i=1}^n \mathbb{P}(A|B_i)\mathbb{P}(B_i)$

במקרה הרציף:

$\ f_X(x)= \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X|Y}(x|y)f_Y(y)$

נוסחת בייס:

במקרה הבדיד:

$\ \mathbb{P}(A|B)= {\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A)\over \mathbb{P}(B)}$

במקרה הרציף:

$\ f_{X|Y}(x|y)= {f_{Y|X}(y|x)f_X(x)\over f_Y(y)}$

שונות של משתנים לא בלתי-תלויים:

$\ Var\left( \sum\limits_{i=1}^n X_i \right)= \sum\limits_{i=1}^n Var(X_i)+ \sum\limits_{i\neq j}^n Cov(X_i,X_j)$

[עריכה] טורים שימושיים

סדרה הנדסית ( $\ |x|<1$ ):

$\ \sum_{n=0}^\infty x^n={1\over 1-x}\quad,\quad \sum_{n=0}^\infty x^{2n}={x\over 1-x^2}$

סדרה חשבונית:

$\ 1+2+...+n={n(n+1)\over 2}$

טור חזקות סופי:

$\ 1+n+n^2+...+n^k={1-n^{k+1}\over 1-n}\ ,\ n\neq 1$

טור טיילור לאקספוננט:

$1+x+{x^2\over 2!}+{x^3\over 3!}+...=\sum_{n=0}^\infty {x^n\over n!}=e^x$

הפיתוח הבינומי:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^{n-k} y^k$

[עריכה] אינטגרלים שימושיים

$\ \int\limits_0^\infty x^ne^{-ax}={n!\over a^{n+1}}$

מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%94%D7%A1%D7%AA%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%93%D7%A3_%D7%A0%D7%95%D7%A1%D7%97%D7%90%D7%95%D7%AA

קטגוריה: הסתברות

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

תיבת כלים