הסתברות/וקטורים אקראיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< הסתברות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

נהוג לקרוא לוקטור - אקראי, ולמשתנה - מקרי. וקטור אקראי (נהוג לקצר: ו"א) זהו וקטור שכל איבריו משתנים מקריים.

תוכן עניינים

1 מבוא
- 1.1 תכונות פונקצית ההתפלגות
2 וקטור אקראי בדיד
- 2.1 תכונות
- 2.2 דוגמאות
3 וקטור אקראי רציף
- 3.1 דוגמאות

[עריכה] מבוא

הגדרה: וקטור אקראי

וקטור אקראי הוא וקטור שכל אבריו הם משתנים מקריים. נסמן: $\ \vec{X}=(X_1,X_2,...,X_n)^T$ . וקטור זה הוא n-מימדי.

הגדרה: פונקצית הסתברות של וקטור אקראי

הפונקציה $\ \mathbb{P}_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)= \mathbb{P}(\{X_1=x_1\}\cap\{X_2=x_2\}\cap...\cap\{X_n=x_n\})$ נקראת פונקצית ההסתברות של הוקטור האקראי $\ \vec{X}$ .

שימו לב כי גם כאן פונקצית ההסתברות יכולה לקבל ערכים אי-שליליים בלבד. פונקציה זו נקראת גם פונקצית ההסתברות המשותפת.

הגדרה: פונקצית התפלגות של וקטור אקראי

$\ F_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)= \mathbb{P}(\{X_1\le x_1\}\cap\{X_2\le x_2\}\cap...\cap\{X_n\le x_n\})$

[עריכה] תכונות פונקצית ההתפלגות

על מנת לפשט את הדיון בפונקצית ההתפלגות, נניח כי מדובר בו"א דו-מימדי:

$\ F_{X,Y}(x,y)= \mathbb{P}(X\le x, Y\le y)$ ואז:

$\ 0\le F_{X,Y}(x,y)\le 1$
$\ \lim\limits_{x\to -\infty} F_{X,Y}(x,y)=0\ ,\ \lim\limits_{y\to -\infty} F_{X,Y}(x,y)=0$
$\ \lim\limits_{x\to\infty} F_{X,Y}(x,y)= \mathbb{P}(Y\le y)= F_Y(y)\ ,\ \lim\limits_{y\to\infty} F_{X,Y}(x,y)= \mathbb{P}(X\le x)= F_X(x)$
F מונוטונית עולה בכל רכיב בנפרד.
יהי A המלבן שקודקודיו $\ (x,y),(x+a,y),(x,y+b),(x+a,y+b)\ ;\ a,b\ge 0$ , אז: $\ \mathbb{P}(\{x,y\}\in A)= F_{X,Y}(x+a,y+b)- F_{X,Y}(x,y+b)- F_{X,Y}(x+a,y)+ F_{X,Y}(x,y) \ge 0$

שימו לב כי גם כאן ההסתברות פרופורציונית לשטח.

[עריכה] וקטור אקראי בדיד

הגדרה: וקטור אקראי בדיד

ו"א נקרא בדיד אם הוא מקבל מספר סופי או ניתן להימנות של ערכים.

הגדרה: פונקצית הסתברות שולית של וקטור אקראי בדיד

פונקצית ההסתברות השולית של המ"מ X_i מוגדרת על ידי: $\ \mathbb{P}(X_i=x_i)= \sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}... \sum\limits_{x_{i-1}}\sum\limits_{x_{i+1}}... \sum\limits_{x_n} \mathbb{P}_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$ . שימו לב כי מתקבלת פונקציה של x_i בלבד.

למעשה, מה שמתבצע בחישוב ההסתברות השולית הוא סכימה על כל המשתנים פרט ל-x_i, והמשמעות היא שכל האירועים, פרט לאלו המתוארים על ידי x_i, קרו בוודאות.

שימו לב כי בהינתן פונקצית הסתברות משותפת, ניתן למצוא את כל פונקציות ההסתברות השוליות, אך ההפך אינו נכון: בהינתן כל פונקציות ההסתברות השוליות לא ניתן לדעת את פונקצית ההסתברות המשותפת.

[עריכה] תכונות

אם הו"א $\ \vec{X}$ בדיד, אז גם X_i בדידים.
$\ \sum\limits_{x_1}\sum\limits_{x_2}...\sum\limits_{x_n} \mathbb{P}_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n) =1$ .

בצורה פשוטה יותר: אם $\ \vec{X}=(X_1,X_2)$ אז $\ \sum\limits_i^{\infty}\sum\limits_j^{\infty} \mathbb{P}_{X_1,X_2}(i,j)=1$ .

[עריכה] דוגמאות

יהי $\ X=(X_1,X_2)$ ו"א בדיד בעל פונקצית הסתברות $\ \mathbb{P}(X_1=x_1,X_2=x_2)= {c\over 2^{x_2}}$ בתחום $\ 1\le x_1\le x_2<\infty$ , כאשר c הוא קבוע נרמול המתאים לפונקצית הסתברות. שימו לב כי פונקצית ההסתברות תלויה רק במ"מ X₂. אז:

פונקצית ההסתברות השולית של X₁ היא:

$\ \mathbb{P}_{X_1}(x_1)= \sum\limits_{x_1\le x_2} {c\over 2^{x_2}}= {c\over 2^{x_1-1}}$

פונקצית ההסתברות השולית של X₂ היא:

$\ \mathbb{P}_{X_2}(x_2)= \sum\limits_{x_1=1}^{x_2} {c\over 2^{x_2}}= {c\over 2^{x_2}}x_2$

[עריכה] וקטור אקראי רציף

הגדרה: וקטור אקראי רציף

ו"א $\ \vec{X}=(X_1,...,X_n)$ נקרא רציף בהחלט אם קיימת פונקצית הצפיפות המשותפת $\ f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$ כך שעבור כל קבוצה לא-סינגולרית A ב- $\ \mathbb{R}$ מתקיים: $\ \mathbb{P}(\vec{X}\in A)= \int\ ... \int f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_n...dx_1$ , והפונקציה f צריכה להיות מוגדרת היטב פרט אולי למספר סופי או ניתן להמנות של נקודות $\ (x_1,...,x_n)$ שנפחן במימד n הוא 0, ולכן אינן משנות את ערך האינטגרל: $\ \int\limits_{-\infty}^{\infty}...\int\limits_{-\infty}^{\infty} f=1$ .

במקרה הרציף, פונקצית ההתפלגות מקבלת את הצורה:

$\ F_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)= \int\limits_{-\infty}^{x_1}...\int\limits_{-\infty}^{x_n} f_{X_1,...,X_n}(\xi_1,...,\xi_n)d\xi_n...d\xi_1$

אם כן, פונקצית הצפיפות המשותפת תתקבל על ידי:

$\ f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)= {\partial^n F_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)\over\partial x_1...\partial x_n}$

הגדרה: פונקצית התפלגות שולית (רציפה)

נגדיר, בלי הגבלת הכלליות, את פונקצית ההתפלגות השולית של המ"מ X₁: $\ F_{X_1}(x_1)= \int\limits_{-\infty}^{x_1}\int\limits_{-\infty}^{\infty}... \int\limits_{-\infty}^{\infty}f_{X_1,...,X_2}(x_1,...,x_n)d\xi_n...d\xi_1$ .

אם נגזור לפי x₁ נקבל את פונקצית הצפיפות השולית:

הגדרה: פונקצית צפיפות שולית

נגדירף בלי הגבלת הכלליות, את פונקצית הצפיפות השולית של המ"מ X₁: $\ f_{X_1}(x_1)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}... \int\limits_{-\infty}^{\infty}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)d\xi_2...d\xi_n$ . שימו לב כי יש כאן n-1 אינטגרציות.

[עריכה] דוגמאות

צפיפות אחידה בו"א דו מימדי:

$\ f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} c, & x^2+y^2<1 \\ 0, & x^2+y^2>1 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad 1= \iint\limits_{x^2+y^2<1} cdxdy= c\pi\ \Rightarrow\ c={1\over\pi}$

מהי אם כן, ההסתברות שהוקטור ימצא בשטח $\ A=\{(x,y)|x^2+y^2<r_0^2\ ,\ 0\le r_0\le 1\}$ ?

$\ \mathbb{P}(\{x,y\}\in A)= \iint\limits_A {1\over\pi} dxdy=r_0^2$

כך למשל, הסיכוי להמצא בעיגול בעל רדיוס 0.5 הוא 0.25.

נחשב כעת את פונקצית הצפיפות השולית של X:

$\ f_X(x)= \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)dy= \begin{cases} \int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} {1\over\pi} dy= {2\sqrt{1-x^2}\over\pi}, & |x|\le 1 \\ 0, & |x|\ge 1 \end{cases}$

עבור פונקצית הצפיפות השולית של Y נקבל תושבה דומה.

כללית: אם D הוא תחום ב- $\ \mathbb{R}^n$ בעל נפח V, ופונקצית הצפיפות האחידה ב-D היא:

$\ f_{X_1,...X_n}(x_1,...,x_n) = \begin{cases} {1\over V}, & \{x_1,...,x_n\}\in D \\ 0, & \{x_1,...,x_n\}\not\in D \end{cases}$

אז: $\ \mathbb{P}(\{x_1,...,x_n\}\in A)= {|A\cap D|\over |V|}$ .

הסתברות/וקטורים אקראיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] מבוא

[עריכה] תכונות פונקצית ההתפלגות

[עריכה] וקטור אקראי בדיד

[עריכה] תכונות

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] וקטור אקראי רציף

[עריכה] דוגמאות

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא