הסתברות/מבוא/הסתברות מותנית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו בהנחה שמאורע אחר ארע.

הגדרה[עריכה]

הגדרה: ההסתברות מותנית

יהיו A ו-B שני מאורעות, כך ש-\mathbb{P}(B) \neq 0. ההסתברות המותנית של A בהנתן B היא \mathbb{P}(A|B)\equiv{\mathbb{P}(A\cap B)\over \mathbb{P}(B)}

כפי שאפשר לשים לב, ההסתברות המותנית אינה מוגדרת במקרה \mathbb{P}(B) = 0. אא"כ יצויין אחרת, נניח במובלע כי זה אינו המצב.

דוגמה[עריכה]

נניח כי בתל-אביב גרים 100 בנים, ו-20 בנות, ואילו בחיפה גרים 40 בנים ו-50 בנות. נניח כי בוחרים אדם כלשהו באקראי.

  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת?
    • ישנן 70 בנות מתוך 210 אנשים סה"כ מהם אנו בוחרים אחד, לכן ההסתברות לבחור בת הינו 70/210, כלומר שליש.
  • מה ההסתברות כי בחרנו בבת, אם ידוע כי האדם הנבחר גר בתל-אביב?
    • כאן ההסתברות מותנית, ונחשב לפי ההגדרות לעיל. המאורע A הינו בחירת בת והמאורע B הינו שנבחר תושב תל-אביב. קל לראות כי P(A)=\tfrac13 וכן P(B)=\tfrac{120}{210}=\tfrac47. ההסתברות P(A \cap B) הינה ההסתברות להיות בת וגם בתל אביב - ישנן 20 כאלה (מתוך אוכלוסיה של 210 סה"כ), ולכן P(A\cap B)=\tfrac{2}{21}. כעת נציב בנוסחה לעיל, ונקבל כי ההסתברות לבחור בת בהנתן שהאדם שבחרנו הוא מתל-אביב היא:
      P(A \mid B) = \frac{\tfrac{2}{21}}{\tfrac47}=\tfrac16


תכונות[עריכה]

המשפט הבא מראה כי כל שלוש התכונות המאפיינות הסתברות, אותן ראינו במודל ההסתברותי, מאפיינות גם הסתברות מותנית.


משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות

נניח ש-B הוא מאורע כלשהו. אז

  1. ההסתברות המותנית של מרחב המדגם שווה 1, או \mathbb{P}(\Omega|B) = 1.
  2. לכל מאורע הסתברות מותנית אי-שלילית \forall{A \subseteq \Omega}\quad 0 \leq \mathbb{P}(A|B)\leq 1.
  3. אדיטיביות: עבור כל שני מאורעות זרים, הסתברות איחודם היא סכום הסתברויותיהן \forall{A_1, A_2 \subseteq \Omega}\;\text{ s.t. }A_1 \cap A_2 = \emptyset \quad\Rightarrow\quad \mathbb{P}(A_1 \cup A_2|B) = \mathbb{P}(A_1|B) + \mathbb{P}(A_2|B)


בתרגיל:הסתברות מותנית היא הסתברות תתבקש להוכיח זאת.

מאותה סיבה, גם שאר התכונות של הסתברות מתקיימות לגבי הסתברות מותנית, כפי שאפשר לראות לדוגמה במשפט הבא.



משפט: הסתברות מותנית של משלים

\ \mathbb{P}(A^c|B)= 1-\mathbb{P}(A|B)


בתרגיל:הסתברות מותנית של משלים תתבקש להוכיח זאת.

הסתברות מותנית של מאורעות בלתי תלויים[עריכה]

התניה במאורע בלתי תלוי אינה משנה את ההסתברות:


משפט:

אם A ו-B מאורעות בלתי תלויים, אז

  1. \mathbb{P}(A|B)=\mathbb{P}(A)
  2. \mathbb{P}(A|B^c)=\mathbb{P}(A)


הוכחה: \mathbb{P}(A|B)=\frac{ \mathbb{P}(A \cap B) }{\mathbb{P}(B)} = \frac{ \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) }{\mathbb{P}(B)} = 
\mathbb{P}(A).

מש"ל.PNG

המקרה האקראי הסימטרי[עריכה]

במודל ההסתברותי ראינו שבמקרה מרחב המדגם הסימטרי, הסתברות הנה פרופורציה. נראה שהתכונה מתקיימת גם עבור הסתברות מותנית.

Set intersection.svg

נתבונן בתרשים בצד שמאל. לפי ההגדרה, ההסתברות המותנית הנה 
\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} = 
\frac
{ \frac{|A \cap B|}{|\Omega|} }
{ \frac{|B|}{|\Omega|} }
=
\frac
{ |A \cap B| }
{ |B| }
.

כלומר, בהנחה ש-B ארע, אז מדובר בפרופורציה של השטח שמשותף גם ל-A, כלומר הפרופורציה של A בהנחה שיש לבחור מתוך B.

קישורים חיצוניים[עריכה]


הפרק הקודם:
אי תלות בין מאורעות
הסתברות מותנית
תרגילים
הפרק הבא:
נוסחת ההסתברות השלמה