הסתברות/פונקציה אופיינית

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

הגדרה: פונקציה אופיינית

עבור מ"מ X, נגדיר לכל s ממשי את הפונקציה: $\ \phi_X(s)=\mathbb{E}e^{isX}$ , כך שבמקרה של מ"מ רציף נקבל: $\ \phi_X(s)=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{isx}f_X(x)dx$ .

שימו לב כי זוהי התמרת פורייה (הפוכה) של פונקציית הצפיפות (PDF).

[עריכה] תכונות

φ מוגדרת וסופית לכל s ממשי כי $\ |e^{isX}|=1$ .
שיוויון של פונקציות אופייניות גורר שוויון של פונקציות התפלגות, כלומר: $\ F_X=F_Y\ \iff\ \phi_X(s)=\phi_Y(s)$ .
$\ \phi_X(0)=1$
$\ \phi_{aX+b}(s)= e^{isb}\phi_X(as)$
אם X,Y ב"ת אז התמרה של קונבולוציה היא מכפלת ההתמרות: $\ \phi_{X+Y}(s)=\phi_X(s)\phi_Y(s)$ .
בדומה לפונקציה יוצרת המומנטים, גם באמצעות הפונקציה האופיינית ניתן לקבל את המומנטים: אם ל- $\ |X|^k$ יש תוחלת סופית אז $\ \phi_X^{(k)}(0)=i^k\mathbb{E}X^k=i^km_k$ .
אם ידועים כל המומנטים ניתן לקבל את הפונקציה האופיינית באמצעות טור מתאים: $\ \mathbb{E}e^{isX}= \sum\limits_{k=0}^\infty {(is)^k\over k!}\mathbb{E}X^k$ . זאת, פרט למקרים פתולוגיים מסוימים בהם סדרת המומנטים גדלה מהר מדי. דוגמה לכך היא ההתפלגות הלוג-נורמלית.
במקרים פתולוגיים מסויימים, הפונקציה האופיינית אינה מגדירה חד משמעית את חוק ההסתברות.