הסתברות/התניה של וקטורים אקראיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] דוגמאות

יהי (X,Y) ו"א אי שלילי בעל פונקצית הצפיפות $\ f_{X,Y}(x,y)= cxye^{-(2x^2+y^2)}$ , כאשר c קבוע נרמול חיובי מתאים. מהי ההסתברות $\ \mathbb{P}(X\le 1|Y\le 2)$ ..?

שימו לב כי אין זו צפיפות גאוסית בגלל הגורם הכפלי לפני האקספוננט.

פתרון: התחום הנתון הוא המלבן $\ (0,\infty)^2$ , וניתן לפרק את פונקצית הצפיפות המשותפת לפונקציה ב-x ולפונקציה ב-y, ולכן הם בלתי תלויים ולכן:

$\ \mathbb{P}(X\le 1|Y\le 2)= \mathbb{P}(X\le 1)= \int\limits_{-\infty}^1 \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)dydx= \int\limits_0^1 \int\limits_0^{\infty} cxye^{-(2x^2+y^2)}dydx=$

$\ ={c\over 2}\int\limits_0^1 xe^{-2x^2}dx= {c\over 2}\left(-{1\over 4}e^{-2}+{1\over 4}\right)$

כעת נמצא את הקבוע:

$\ 1= \left.-{1\over 4}e^{-2x^2}\right|_0^{\infty} \cdot \left.-{1\over 2}e^{-y^2}\right|_0^{\infty}= {1\over 4}{1\over 2}= {1\over 8}\ \Rightarrow\ c=8$

כך שבסופו של דבר: $\ \mathbb{P}(X\le 1)= 1-e^{-2}$ .

דרך אחרת: נרצה להשתמש בנוסחה $\ f_{X|Y}(x|y)= {f_{X,Y}(x,y)\over f_Y(y)}$ . כמו כן, אם נחשוב קדימה ונזכר בנוסחאות לצפיפות מותנית, נסיק כי אין צורך לחשב את הקבוע c. נחשב תחילה את הצפיפות השולית באמצעות הצפיפות המשותפת:

$\ f_Y(y)= \int\limits_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dy= \int\limits_0^{\infty}cxye^{-(2x^2+y^2)}dx= cye^{-y^2}\int\limits_0^{\infty} xe^{-2x^2}dx=$

$\ =\left.-{c\over 4}ye^{-y^2}e^{-2x^2}\right|_{x=0}^{\infty}= {c\over 4}ye^{-y^2}$

כעת נציב בנוסחה:

$\ f_{X|Y}(x|y)= {f_{X,Y}(x,y)\over f_Y(y)}= {cxye^{-(2x^2+y^2)}\over {c\over 4}ye^{-y^2}}= 4xe^{-2x^2}$

(האם התוצאה מחייבת ש-X בלתי תלוי ב-Y?)

כעת:

$\ \mathbb{P}(X\le 1|Y\le 2)= F_{X|Y}(1|2)= \int\limits_0^1\int\limits_0^2 4xe^{-2x^2}dxdy= \int\limits_0^1 4xe^{-2x^2}dx \int\limits_0^2 dy=$

$\ =\int\limits_0^1 8xe^{-2x^2}dx= \left. -2e^{-2x^2}\right|_0^1= 2-2e^{-2}$

שימו לב: יש טעות בדרך שטרם נמצאה. צריך לצאת: $\ 1-e^{-2}$ .

יהי (X,Y,Z) ו"א המפולג באחידות בתחום $\ D=\{(x,y,z)|x+y+z\le 2,\ x,y,z\ge 0\}$ . מהי התוחלת $\ \mathbb{E}(X|Y,Z)$ ..?

פתרון: מדובר בוקטור אחיד שצפיפותו היא מספר קבוע, ולכן נמצא תחילה מספר זה (מעשית, אין בו צורך כי הוא ממילא יצטמצם מאוחר יותר):

$\ 1=c\cdot\int\limits_0^2dz\int_0^{2-z}dy\int\limits_0^{2-z-y}dx= ...= {4\over 3}\ \Rightarrow\ c={3\over 4}$

כעת, על מנת להשתמש בהגדרת הצפיפות המותנית עבור $\ f_{X|Y,Z}$ , יש למצוא תחילה את הצפיפות המשותפת $\ f_{Y,Z}$ :

$\ f_{Y,Z}(y,z)= \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y,Z}(x,y,z)dx= \int\limits_0^{2-z-y} {3\over 4}dx= {3\over 4}(2-z-y)$

שימו לב כי התחום הרלוונטי הוא $\ y+z<2$ . נציב בנוסחת הצפיפות המותנית:

$\ f_{X|Y,Z}(x|y,z)= {f_{X,Y,Z}(x,y,z)\over f_{Y,Z}(y,z)}= {{3\over 4}\over {3\over 4}(2-z-y)}= {1\over 2-z-y}$

לבסוף:

$\ \mathbb{E}(X|Y,Z)= \int\limits_0^{2-z-y} {x\over 2-z-y}dx= {1\over 2}(2-z-y)$

דרך אחרת: בהינתן X,Y מתקבל ש- $\ X\sim U[0,2-Z-Y]$ ולכן $\ \mathbb{E}(X|Y,Z)= {2-z-y\over 2}$ .

הסתברות/התניה של וקטורים אקראיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] דוגמאות

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא