אלגברה לינארית/סוגי מטריצות: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
מתוך מטריצות ותכונותיהן |
||
שורה 12: | שורה 12: | ||
מטריצת היחידה (סימון: <math>I_n</math>) היא מטריצה ריבועית <math>n\times n</math> שאלכסונה הראשי מורכב מאחדות וכל שאר המטריצה מאפסים. |
מטריצת היחידה (סימון: <math>I_n</math>) היא מטריצה ריבועית <math>n\times n</math> שאלכסונה הראשי מורכב מאחדות וכל שאר המטריצה מאפסים. |
||
:<math>I_n=\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{bmatrix}</math> |
:<math>I_n=\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{bmatrix}</math> |
||
}} |
}} |
||
{{הגדרה|מספר=2.2|שם=מטריצת היחידה|תוכן= |
|||
מטריצת היחידה מסדר <math>n</math>, תסומן כ<math>I_{n} \in M_{n,n}(\mathbb{F})</math>, ומוגדרת כך: <math>I_{n}=[\delta_{ij}]_{n\times n}</math>, כאשר <math>\delta_{ij}=\begin{cases} |
|||
1,i=j\\ |
|||
0,i\not= j\\ |
|||
\end{cases}</math> }} |
|||
{{משפט|מספר=5|שם=מטריצת היחידה ניטרלית ביחס לכפל מטריצות, כלומר מתקיים <math>AI_n=I_nA=A</math>|תוכן= |
|||
{{הוכחה| |
|||
<math>\left[AI_n\right]_{ij}=\sum _{l=1}^m\ a_{il}\delta _{lj}=a_{i1}\delta _{1j}+a_{i2}\delta _{2j}+....+a_{ij}\delta _{jj}+....=a_{i1}\cdot 0+a_{i2}\cdot 0+....+a_{ij}\cdot 1+....=a_{ij}</math> |
|||
<math>\left[I_nA\right]_{ij}=\sum _{l=1}^m\ \delta _{il}a_{lj}=\delta \ _{i1}a_{1j}+\delta \ _{i2}a_{2j}+\delta \ _{i3}a_{3j}...+\delta \ _{ii}a_{ij}+...=0\cdot a_{1j}+0\cdot a_{1j}+0\cdot a_{1j}+...+1\cdot a_{ij}+...=a_{ij}</math>}}}} |
|||
{{הגדרה| |
{{הגדרה| |
||
מספר=3| |
מספר=3| |
גרסה מ־13:19, 9 בינואר 2022
הגדרה 1: מטריצות שוות שתי מטריצות ייקראו ”שוות” אם הגדלים שלהן שווים וגם מתקיים ונסמן . כלומר, הגדלים שלהן שווים וגם כל סקלר. |
הגדרה 2: מטריצת יחידה מטריצת היחידה (סימון: ) היא מטריצה ריבועית שאלכסונה הראשי מורכב מאחדות וכל שאר המטריצה מאפסים. |
הגדרה 2.2: מטריצת היחידה מטריצת היחידה מסדר , תסומן כ, ומוגדרת כך: , כאשר |
משפט 5: מטריצת היחידה ניטרלית ביחס לכפל מטריצות, כלומר מתקיים הוכחה:
|
הגדרה 3: מטריצה משולשית עליונה מטריצה משולשית עליונה היא מטריצה ריבועית כך שלכל מתקיים . כלומר כל האברים שמתחת לאלכסון הראשי שווים לאפס וניתן ליצוג כך: |
הגדרה 4: מטריצה משולשית תחתונה מטריצה משולשית תחתונה היא מטריצה כך שלכל מתקיים . כלומר כל האברים שמעל האלכסון הראשי שווים לאפס וניתנת ליצוג כך: |
הגדרה 5: מטריצת האפס נגדיר את מטריצת האפס (מגודל ) להיות , עבורה |
הגדרה 6: מטריצה ריבועית מטריצה תיקרא ריבועית אם מספר השורות ומספר העמודות שלה שווים. |