מטריצה תיקרא מטריצה הפיכה אם ורק אם קיימת מטריצה כך שמתקיים , מטריצה הפיכה תיקרא מטריצה רגולרית, ומטריצה לא הפיכה תיקרא מטריצה סינגולרית, את המטריצה ההופכית של נסמן .
מטריצה תיקרא מטריצה אלמנטרית אם היא התקבלה ממטריצת היחידה על ידי פעולה אלמנטרית, נהוג לסמן את המטריצה אשר התקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , ב.
טענה 1: תהי המטריצה האלמנטרית שהתקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , אזי מתקיים
משפט 7: כל מטריצה אלמנטרית הפיכה, ומתקיים
הוכחה:
נבצע על המטריצה את הפעולה ההפוכה, ונקבל את מטריצת היחידה.
טענה 2: כל מטריצה הפיכה היא מכפלת מטריצות אלמנטריות
כל אחד מהתנאים הבאים הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות המטריצה :
למשוואה קיים רק הפתרון הטריוויאלי
לכל וקטור עמודה קיים פתרון למשוואה .
לכל וקטור עמודה קיים פתרון יחיד למשוואה .
הוכחה:
.
לכל וקטור , מתקיים ש הוא פתרון של המשוואה , כיוון שמתקיים .
נניח כי מטריצה הפיכה, יהיה וקטור עמודה, אם הוא פתרון של המשוואה, אז , ולכן נוכל לכפול את שני האגפים ב ונקבל , לכן אם קיים פתרון הוא בהכרח שווה ל,ולכן אם קיים פתרון הוא יחיד.