מטריצות ותכונותיהן

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש



מטריצה הפיכה ותכונותיה[עריכה]

הגדרה 9: מטריצה הפיכה

מטריצה תיקרא מטריצה הפיכה אם ורק אם קיימת מטריצה כך שמתקיים , מטריצה הפיכה תיקרא מטריצה רגולרית, ומטריצה לא הפיכה תיקרא מטריצה סינגולרית, את המטריצה ההופכית של נסמן .



משפט 6: משפטי הפיכות 1

  • אם מטריצה הפיכה ומתקיים , או , בהכרח .
  • אם מטריצה הפיכה ומתקיים או אז .
  • אם מטריצה הפיכה, אז מתקיים .
  • מטריצה הפיכה אם ורק אם המטריצה הפיכה ומתקיים .
  • אם מטריצות הפיכות מאותו הסדר, מתקיים .
  • אם מטריצה הפיכה, ו סקלר, גם הפיכה ומתקיים .


הוכחה:

  • , ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
  • ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
  • נובע ישירות מהשוויון, מתקיים .
  • ולכן , בכיוון השני ההוכחה זהה לחלוטין.
  • , וגם .
  • , וגם .




מש"ל.PNG


מטריצה אלמנטרית[עריכה]

הגדרה 10: מטריצה אלמנטרית

מטריצה תיקרא מטריצה אלמנטרית אם היא התקבלה ממטריצת היחידה על ידי פעולה אלמנטרית, נהוג לסמן את המטריצה אשר התקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , ב.


טענה 1: תהי המטריצה האלמנטרית שהתקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , אזי מתקיים



משפט 7: כל מטריצה אלמנטרית הפיכה, ומתקיים

הוכחה: נבצע על המטריצה את הפעולה ההפוכה, ונקבל את מטריצת היחידה.

מש"ל.PNG


טענה 2: כל מטריצה הפיכה היא מכפלת מטריצות אלמנטריות

עוד על מטריצה הפיכה[עריכה]

משפט 8: משפטי הפיכות 2

כל אחד מהתנאים הבאים הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות המטריצה :

  • למשוואה קיים רק הפתרון הטריוויאלי
  • לכל וקטור עמודה קיים פתרון למשוואה .
  • לכל וקטור עמודה קיים פתרון יחיד למשוואה .



הוכחה:

  • .
  • לכל וקטור , מתקיים ש הוא פתרון של המשוואה , כיוון שמתקיים .
  • נניח כי מטריצה הפיכה, יהיה וקטור עמודה, אם הוא פתרון של המשוואה, אז , ולכן נוכל לכפול את שני האגפים ב ונקבל , לכן אם קיים פתרון הוא בהכרח שווה ל,ולכן אם קיים פתרון הוא יחיד.



מש"ל.PNG