פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 2

המשך ההקדמה: פיזיקה קלאסית וקבוע פלנק

סדרי גודל של מכניקה קוונטית

ראינו עד כה שנערכו ניסויים שסתרו את תוצאות הפיזיקה הקלאסית. מאידך, הפיזיקה הקלאסית תיארה באופן מוצלח מאוד את כל התופעות בהן נתקל המדע עד אז. ומתעוררת השאלה: מתי יהא עלינו להשתמש בפיזיקה קוונטית?
תזכורת: מימדי $\ \hbar$: תנ"ז X זווית = תנע X אורך = אנרגיה X זמן = $\ [\hbar ]$, וכן מתקיים: $\ E=\hbar \omega$ $\ {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}={\frac {(lengh)^{2}\cdot mass}{time}}$
כל גודל שיחידותיו הן $\ {\frac {(lengh)^{2}\cdot mass}{time}}$ מהווה פעולה. לכן, נוכל להשתמש במכניקה הקוונטית כאשר נתעסק במערכות בהן סדר הגודל של הפעולה פרופורציונלי ל- $\ \hbar$, כלומר בערך $\ 10^{-34}$.
נתבונן כעת במספר מקרים. בכל אחד מהם, נרצה לדעת האם עלינו להשתמש במכניקה הקלאסית או הקוונטית:

דוגמה 1: האפקט הפוטו-אלקטרי (המקרה בו דנו בשיעור שעבר):

אנרגית האלקטרונים: $\ e=E\cdot V_{0}\simeq 1eV=1.6\cdot 10^{-19}J$
סדר גודל של גל אלקטרו מגנטי: $\ \omega =c\cdot {\frac {2\pi }{\lambda }}$, כאשר $\ \lambda \simeq 1000{\dot {A}}$ $\ \Leftarrow$ $\ \omega \simeq 6\pi \cdot 10^{15}{\frac {1}{s}}$
מנתונים אלה ניתן למצוא סדר גודל של פעולה אופיינית

<: $\ {\frac {E}{\omega }}\simeq 10^{-35}$

$\ \Leftarrow$ ניתן להשתמש בפיזיקה קוונטית. למעשה, בסדרי גודל כאלה, חובה עלינו להשתמש בפיזיקה קוונטית

אם נרצה להסביר את התופעות כראוי.

דוגמא מספר 2: אנטנה:

הספק: $\ P\simeq 1KW[JS^{-1}]$, תדירות: $\ \nu =1MHz\left[={\frac {1}{s}}\right]$.

יחידות: $\ P={\frac {E}{t}}$. מתקיים גן: אנרגיה = $\ {\frac {P}{\nu }}$, זמן = $\ {\frac {1}{\nu }}$, ופעולה אופיינית תהיה לכן: $\ {\frac {P}{\nu }}\cdot {\frac {1}{\nu }}=P\cdot \nu ^{-2}\simeq 10^{31}\hbar \gg \hbar$
לכן, במקרה זה לא ניתן להשתמש בפיזיקה קוונטית.

דוגמה מס' 3: מעגל LC:

נתון מעגל RC עם הנתונים הבאים: קיבול: $\ c\simeq 10^{-10}KW$, השראות עצמית של הסליל: $\ L\simeq 10^{-4}H$ . סדר גודל של זרם אופייני: $\ I=10^{-3}A$.
$\ ?$ מהי הפעולה של המעגל?

• אנרגית המעגל: $\ E={\frac {1}{2}}LI^{2}$
• זמן: תדירות עצמית של המעגל: $\ \omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

$\ \Leftarrow$ סדר הגודל של הפעולה: $\ {\frac {1}{2}}LI^{2}{\sqrt {LC}}\simeq 10^{17}\hbar \gg \hbar$
$\ \Leftarrow$ גם במקרה זה לא נוכל להיעזר במכניקת הקוונטים.

דוגמא מספר 4: אטום מימן

• סדר גודל של אנרגית האלקטרון: $\ E_{0}=13.6ev=2\cdot 10{-18}J$
• אורך גל אופייני של קרינה אלקטרו מגנטית: $\ \Leftarrow \lambda \simeq 10^{3}{\dot {A}}$ תדירות אופיינית: $\ \omega ={\frac {2\pi c}{\lambda }}\simeq 2\cdot 10^{16}{\frac {1}{sec}}$.

$\Leftarrow$ סדר גודל של פעולה אופיינית: $\ {\frac {E}{\omega }}\simeq 10^{-34}J\cdot sec\simeq \hbar$
$\Leftarrow$ יש צורך להשתמש ב- QP (=פיזיקה קוונטית).

דוגמא מספר 5: גרעין של אטום:

• אנרגיה אופיינית של ריאקציה גרעינית: $\ E=8Mev\simeq 1.3\cdot 10^{-12}J$
• גודל אופייני של הגרעין: $\ r_{0}\simeq 1.2\cdot 10^{-15}m$
• מסת הנוקלאונים (=החלקיקים שבתוך גרעין האטום: פרוטון+נויטרון): $\ M=1.6\cdot 10^{-27}Kg$

והפעולה: באופן כללי, נשים לב שמתקיים:
$\ length\cdot {\sqrt {M\cdot E}}=lentgh\cdot {\sqrt {m\cdot {\frac {1}{2}}mv^{2}}}={\sqrt {m^{2}v^{2}}}=momentum$ כאשר: length = אורך ו- momentum = תנע. כלומר, הפעולה היא תנע (מתאים מבחינת היחידות!), ונקבל את סדר הגודל שלה: $\ r_{0}\cdot {\sqrt {ME}}\simeq 5\cdot 10^{-35}\ J\cdot sec\simeq {\frac {1}{2}}\hbar$
$\ \Leftarrow$ מצריך שימוש ב- QP.

• מכיוון שהגדרת הפעולה היא יחידה, תמיד נוכל להיעזר בכלל זה.

• • עד כאן ההקדמה. ונעבור לאחת מהעדויות הראשונות לפיזיקה קוונטית:

פיזור קומפטון (1922)

ניסוי זה מהווה, למעשה, את ההוכחה הראשונה לקיומו של הפוטון. מקרינים קרינה בתדירות $\ \nu$ על מתכת. בתגובה, המתכת פולטת קרינה בתדירות $\ \nu '$ ובזווית $\ \theta$, למרות שלכאורה עליה לפלוט קרינה בתדירות $\ \nu$ וללא זוית מופע. .
נבחן, באופן קלאסי, מקרה חד מימדי של התנגשות:

• לפני ההתנגשות:
  

האלקטרון (במנוחה): $\ P_{e}=0,\ E_{e}=mc^{2}$
הפוטון: $\ P_{\gamma }={\frac {h\nu }{c}},\ E_{\gamma }=h\nu ={\frac {h}{\lambda }}$

• אחרי ההתנגשות:
  

האלקטרון: $\ E_{e}=\left(P_{e}^{2}c^{2}+m_{e}^{2}c^{4}\right)^{\frac {1}{2}}$
הפוטון: $\ P_{\gamma }={\frac {h\nu '}{c}}={\frac {h}{\lambda '}},\ e_{\gamma }=h\nu '$ כאשר האלקטרון מתפזר בזווית $\ \theta _{e}$ ביחס לכיוון החיובי של ציר האיקס ובכיוון הטריגונומטרי (נגד כיוון השעון), והפוטון בזווית $\ \theta _{\gamma }$ כאשר מודדים נגד הכיוון הטריגונומטרי.
כמו בכל מקרה קלאסי, נפתור את הבעיה בעזרת שני חוקי שימור:
א) שימור אנרגיה: $\ h\nu +mc^{2}=h\nu '+{\sqrt {m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}$ (1)
ב) שימור תנע: בציר x (האופקי): ${\frac {h\nu }{c}}={\frac {h\nu '}{c}}\cos \theta _{\gamma }+P_{e}\cos \theta _{e}$ (2)
שימור תנע בציר y (האנכי): $\ 0=-{\frac {h\nu '}{c}}\sin \theta _{\gamma }+P_{e}\sin \theta _{e}$ (3)
$\ \Rightarrow \ \ \left(h\nu -h\nu '+mc^{2}\right)^{2}=m^{2}c^{4}+P_{e}^{2}c^{2}$ (1)
$\ \Rightarrow \ \left(h\nu -h\nu '\right)^{2}+m^{2}c^{4}+2mc^{2}h\left(\nu -\nu '\right)=m^{2}c^{4}+P_{e}^{2}c^{2}$
נשים לב שניתן לצמצם את הביטוי $\ m^{2}c^{4}$ משני האגפים, ונקבל:
$\ \ \left(h\nu -h\nu '\right)^{2}+2mc^{2}h\left(\nu -\nu '\right)=P_{e}^{2}c^{2}$ (4)
$\ \Rightarrow P_{e}^{2}\cos ^{2}\theta _{e}=\left({\frac {h}{c}}\right)^{2}\left(\nu -\nu '\cos \theta _{\gamma }\right)^{2}$ (2)
$\ \Rightarrow P_{e}^{2}\sin ^{2}\theta _{e}=\left({\frac {h}{c}}\right)^{2}\left(\nu '\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{\gamma }$ (3)
$\ \ \ \Rightarrow P_{e}^{2}c^{2}=\left(h\nu -h\nu '\cos \theta _{\gamma }\right)^{2}+\left(h\nu '\sin \theta _{\gamma }\right)^{2}$
(5) $\ \ \ \Rightarrow P_{e}^{2}c^{2}=\left(h\nu \right)^{2}+\left(h\nu '\right)^{2}-2h^{2}\nu \nu '\cos \theta _{\gamma }\ \$
$\ \Rightarrow \left(h\nu -h\nu '\right)^{2}+2mc^{2}h\left(\nu -\nu '\right)=\left(h\nu \right)^{2}+\left(h\nu '\right)^{2}-2h^{2}\nu \nu '\cos \theta _{\gamma }$ (5) + (4)
$\ \Rightarrow 2mc^{2}h\left(\nu -\nu '\right)=2h^{2}\nu \nu '-2h^{2}\nu \nu '\cos \theta _{\gamma }$

נכפול את שני האגפים בביטוי $\ {\frac {1}{2hmc^{2}\nu \nu '}}$, ונקבל: $\ {\frac {\nu -\nu '}{\nu \nu '}}={\frac {h}{mc^{2}}}\left(1-cos\theta _{\gamma }\right)$
נשים לב שמתקיים: $\ {\frac {\nu -\nu '}{\nu \nu '}}={\frac {1}{\nu '}}-{\frac {1}{\nu }}=\left({\frac {c}{\nu '}}-{\frac {c}{\nu }}\right)\cdot {\frac {1}{c}}=\left(\lambda '-\lambda \right){\frac {1}{c}}$
וקיבלנו את נוסחת הפיזור של קומפטון:

$\ \lambda '-\lambda ={\frac {h}{mc}}\left(1-\cos \theta _{\gamma }\right)$

שימו לב לתוצאה מעניינת מאוד: הפרש אורכי הגל תלוי אך ורק בזווית הפיזור, ולא בשום דבר אחר!

לגורם ${\frac {h}{mc}}$ קוראים אורך גל קומפטון והוא מסומן ב - $\lambda _{c}=0.0243\mathrm {\AA}$
.

התאבכות של גלים אלקטרו מגנטיים - ניסוי יאנג (Young)

מקור אור נקודתי נמצא מאחורי 2 סדקים, $\ N_{1}$ ו- $\ N_{2}$, שהמרחק ביניהם $\ D$. במרחק $\ L$ ($\ L\gg D$) נמצא מסך, עליו מתקבלת תמונת התאבכות.


גל א"מ ניתן לתיאור ע"י שדה חשמלי כגל מונוכרומטי: $\ \psi \left({\vec {r}},t\right)=\psi _{0}e^{i\left({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t\right)}$. תהא $\ D'$ הנק' על המסך הנמצאת בדיוק מול נקודת האמצע שבין שני הסדקים. נתבונן בנק' $\ C$ על המסך, המרוחקת מרחק $\ x$ מהנק' $\ D'$. אזי, משרעת הגל בנק' $\ C$ תהיה: $\ \psi \left(C\right)=\psi _{1}+\psi _{2}=\psi _{0}e^{-i\omega t}\left(e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}_{1}}+e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}_{2}}\right)$, כאשר מסמנים: $\ {\vec {r}}_{1}={\vec {N_{1}c}},\ {\vec {r}}_{2}={\vec {N_{2}c}}$.
עוצמת הגל בנקודה $\ C$:

$\ I\left(C\right)=\left|\psi \left(C\right)\right|^{2}=\left|\psi _{0}\right|^{2}\underbrace {\left|e^{-i\omega t}\right|^{2}} _{=1^{2}=1}\left|e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}_{1}}+e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}_{2}}\right|^{2}=$

$\ =\left|\psi _{0}\right|^{2}2\left|1+e^{i{\vec {k}}\cdot \left({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}\right)}\right|=2\left|\psi _{0}\right|^{2}\left[1+cos\left({\vec {k}}\cdot \left({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}\right)\right)\right]$
נגדיר הפרש פאזה באופן הבא: $\ \delta \ _{=}^{\triangle }\ {\vec {k}}\cdot \left({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}\right)={\frac {2\pi }{\lambda }}\left(\left|{\bar {N_{2}c}}\right|\cos \theta _{2}-\left|{\bar {N_{1}c}}\right|\cos \theta _{1}\right)$
מתקיים: $\ \cos \theta _{1}\simeq \cos \theta _{2}\simeq 1\ \Leftarrow \ \theta _{1},\theta _{2}\ll 1\ \Leftarrow x\ll L,\ D\ll L$

ונקבל שהפרש הפאזה הינו: $\ \delta ={\frac {2\pi }{\lambda }}\left(\left|{\bar {N_{2}C}}\right|-\left|{\bar {N_{1}C}}\right|\right)$

• טענה: מתקיים: $\ \delta \simeq {\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {Dx}{L}}$, כלומר: $\ I\left(C\right)=2\left|\psi _{0}\right|^{2}\left(1+\cos {\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {Dx}{L}}\right)$.
• הוכחה (הסבר) : נבחן את עוצמת האור כפונקציה של $\ \theta ={\frac {x}{L}}$.

מתקיים: $\ \tan \theta _{1}={\frac {x+{\frac {D}{2}}}{L}},\ \tan \theta _{2}={\frac {x-{\frac {D}{2}}}{L}}$. בנוסף, $\ D,{\frac {D}{2}}\ll L$, לכן נוכל להניח ש:$\ \tan \theta _{1}\simeq \tan \theta _{2}\simeq \tan \theta ={\frac {x}{L}}$. בנוסף, נשים לב לקשר הבא: $\ n\in \mathbb {Z} ,\ {\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {Dx_{i}}{L}}=2\pi n$ , מכאן נקבל את התוצאה: $\ x_{i}={\frac {\lambda L}{D}}n$.

פיזור בראג (Bragg) של קרינת X

גל מישורי פוגע בגביש:
כתוצאה משני מקורות (במקרה שלנו, המשטחים $\ l_{1},\ l_{2}$) נקבל התאבכות.
נרצה לחשב את הפרש הפאזה: $\ \delta ={\frac {2\pi }{\lambda }}\left({\bar {H_{0}M'}}+{\bar {M'H}}\right)$

$\ \left\{{\begin{matrix}\beta +\theta ={\frac {\pi }{2}}\\\alpha +\beta +\phi +{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \alpha -\theta +\phi =0\ \ \Rightarrow \alpha =\theta -\phi$

$\ \left\{{\begin{matrix}{\frac {b}{a}}=\sin \alpha =\sin \left(\theta -\phi \right)\\{\frac {d}{a}}=\cos \phi \end{matrix}}\right.\ \Rightarrow b={\bar {H_{0}M}}={\frac {d}{\cos \phi }}\sin \left(\theta -\phi \right)$

...המשך בשיעור הבא...

ההרצאה הקודמת: הרצאה מספר 1

עמוד ראשי: פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס

ההרצאה הבאה: הרצאה מספר 3