פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס/הרצאה מספר 3

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

פיזור בראג (Bragg) - המשך[עריכה]

תזכורת: אנו דנים בפיזור בראג (Bragg) של גלים א"מ ע"י גביש:
Bragg1.jpg
הפרש הפאזה:





וקיבלנו את תנאי ההתאבכות של בראג:

"גלי חומר": תכונות גליות של חלקיקים (דה ברולי de Broglie 1992)[עריכה]

דנו כבר בקשר שבין א"מ ומכניקה קלאסית - הדואליות של גל-חלקיק.
נתון חלקיק נקודתי כשלהו. מאפייניו:

1. מסה
2. תנע
3. אנרגיה קינטית


נגדיר עבורו אורך גל באופן הבא:
גל מקיים: , וכבר אמרנו קודם ש-

וקיבלנו את אורך גל דה-ברולי:

צורת כתיבה נוספת:

דוגמא 1[עריכה]

מהו אורך גל דה-ברולי של חלקיק בעל מסה ומהירות  ?
פתרון : ראשית נבצע המרה של יחידות:

וכעת, נציב בנוסחה שמצאנו למעלה עבור אורך גל דה-ברולי:
כלומר, עבור חלקיק זה לא נוכל להבחין בתופעות גליות, כי אורך הגל האופייני שלו קטן מאוד (תופעות גליות ניתן לראות בסדר גודל של )

    • הערה חשובה: בוודאי שמתם לב, כי ראשית טיפלנו ביחידות, ורק לאחר מכן הצבנו את הנתונים בנוסחא. כאו הוא המקום לשוב ולהדגיש, כי לא ניתן להפריז בחשיבותן של היחידות בכל הנוגע לפיזיקה, וכי טעות ביחידות יכולה להוביל לבלבול ולטעויות רבות.

כדאי לדעת:

חשוב לשים לב ליחידות בפיזיקה!

דוגמא 2[עריכה]

נתון אלקטרון בעל . חשבו את .
פתרון :
כלומר, קיבלנו סדר גודל בו כן נוכל להבחין בתופעות גליות.

משוואת גל במימד אחד[עריכה]

נתון מיתר חד מימדי. עבור רגע נתון כלשהו (עבור מיקום נתון כלשהו), הגל ייראה כך כפונקציה של המיקום (כפונקציה של הזמן):
ציור סכמטי של גל
משוואת הגל הכללית (במימד אחד) תיראה כך:

פתרון מתמטי[עריכה]


פתרון כללי של מתקבל באופן הבא (לפירוט ראה כאן - מדח):
נסמן:

.

ואז, הנגזרות החלקיות תהיינה:


נסמן:

משמעות פיזיקלית, יחס הדיספרציה[עריכה]

נניח לרגע ש- , כלומר פונקצית הגל נראית כך: - כלומר גל הנע בכיוון ציר . לעומת זאת, אם , כלומר , נקבל גל הנע בכיוון .
גל כללי הוא סופרפוזיציה (=צירוף לינארי, הרכבה) של גלים כאלה.

המקרה הקנוני[עריכה]

נסמן:

A = משרעת
=מספר הגל
=תדירות


פונקציה זו נקראת "קנונית" משום שהיא מרכיבה כל גל אחר (כלומר כל גל הוא הרכבה של גלים כאלה).
אם אין פאזה : . ומתקיים:
(כאשר ב-* הצבנו את משוואת הגלים).
הקשר נקרא יחס הדיספרציה (נפיצות), ובאמצעותו ניתן תמיד לבנות את משוואת הגל.
ניזכר בהגדרות מחשמל וגלים: מהירות פאזה: , מהירות החבורה: . אם , נקבל: .

דוגמא - חלקיק יחסותי[עריכה]

נתון חלקיק יחסותי , ואמרנו שמתקיימים הקשרים הבאים: - וקיבלנו את יחס הדיספרסיה: .

  • שימו לב! עבור נקבל את היחס , כלומר פוטון.

מהירות הפאזה (חסרת משמעות פיזיקלית, לכן יכול להיות גדולה מ-):
מהירות החבורה (המהירות בה עוברת האנרגיה, כמובן ):

דוגמא - גל חומר לא יחסותי[עריכה]

אנרגיה קינטית: , וכן מתקיים: . מאידך: .
ומכאן קל למצוא את יחס הדיספרציה:

המהירויות: . במקרה זה, .

סופרפוזיציה של גלים מישוריים: חבורת גלים[עריכה]

משפט: כל פתרון של משוואת הגלים הינו סופרפוזיציה של גלים הרמונים מישוריים, אפילו גל כזה:
אפילו גל זה בנוי מסופרפוזיציה של הרמונים מישוריים.

  • דוגמא : פעימות של שני גלים הרמוניים:

עם גל זה התעסקנו רבות בקורס מכניקה - חשמל וגלים, לכן כולנו יודעים איך הוא נראה:
פעימות של גל

(...המשך בשיעור הבא...)


ההרצאה הקודמת:
הרצאה מספר 2
עמוד ראשי:
פיזיקה קוונטית 1 - מחברת קורס
ההרצאה הבאה:
הרצאה מספר 4