מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/אי-שוויונות טריגונומטריים

הקדמה אופן פתרון אי-שוויונות טריגונומטרים דומה לפתרון אי־שוויונות עם שברים - פתרון אי־השוויון באמצעות שרטוט גרף. מצא את אי-השוויון $\cos(2x)+\cos(x)<0$ בתחום $0\leq x\leq 2\pi$ שלב א': פיתוח משוואה באופן דומה לסדר הפעולות שהוצגו באי־שוויונות עם שברים, נפתור את אי-השוויון הטריגונומטרי. נדגים על אי־השוויון $\cos(2x)+\cos(x)<0$ ונתייחס אליו כאילו דובר במשוואה. נעזר בזהות $\cos(2x)=2\cos ^{2}(x)-1$ ונקבל $2\cos ^{2}(x)+\cos(x)-1=0$ . נציב $\cos(x)=t$ ונקבל $2t^{2}+t-1=0$ . נפתור את המשוואה באמצעות נוסחת השורשים ונקבל $t_{1}=-1,t_{2}={\frac {1}{2}}$ . שלב ב': חילוץ הזוית נציב חזרה את $\cos(x)=t$ ונחלץ את הזוית באמצעות $\arccos$ . נזכור כי עבור כל פתרון לתרגיל של קוסינוס ישנן שתי תשובות כפי שהוסבר בפרק משוואות טריגונומטריות: פתרון המשוואה/פתרונות על מעגל היחידה ${\begin{aligned}\cos(x)={\frac {1}{2}}\\x=60^{\circ }\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\cos(x)=-1\\x=180^{\circ }\end{aligned}}$ $x_{1}={\frac {\alpha +360^{\circ }K}{b}}$ $60^{\circ }$ $-60^{\circ }\rightarrow -60^{\circ }+360^{\circ }=300^{\circ }$ $x_{2}={\frac {-\alpha +360^{\circ }K}{b}}$ $180^{\circ }$ $-180^{\circ }$ שלב ג': הצבה על הצירים ובדיקת תחומים חיובים ושלילים נחשב את ערך המשוואה בתחומים השונים $0^{\circ }$ $30^{\circ }$ $60^{\circ }$ $70^{\circ }$ $180^{\circ }$ $200^{\circ }$ $300^{\circ }$ $0^{\circ }$ $+$ $0^{\circ }$ $-$ $0^{\circ }$ $-$ $0^{\circ }$ נשרטט על ציר צירים. שלב ד': פתרון אי-השוויון $\cos(2x)+\cos(x)<0$ על-פי השרטוט נוכל לראות כי אי-השוויון קטן מאפס בתחום $60^{\circ }\leq x\leq 300^{\circ }$ פרט לנקודה $x=180^{\circ }$ . שלב ה': הצגה באמצעות פאי נהפוך את הזויות בהתאם לשיעור מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/הרדיאן. $60^{\circ }\leq x\leq 300^{\circ }$ שווה $\pi \leq x\leq {\frac {5\pi }{3}}$