מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות עם שברים

שלבים

1. נמצא את תחום ההגדרה של אי-השוויון.
2. אם ניתן נעביר אגפים כך שבצד אחד של אי-השוויון יהיה אפס ובצד שני שבר (המומלץ ביותר).
   • שבר הוא חיובי אם המכנה והמונה שלו הם שווי סימן, והוא שלילי אם הם שוני סימן
3. אם ניתן, נעביר אגפים כך שבצד אחד יהיה גורם חופשי ומצד שני שבר (עדיף להמנע).
   • נכפיל את שני האגפים של אי-השוויון במכנה בשנייה תוך שמירה על כיוון סימן האי-שיוויון (הערך של המכנה בריבוע חיובי כיוון שבתחום ההגדרה המכנה שונה מאפס).
4. במידה ולא ניתן להעביר אגפים נצטרך לפתור את אי-השוויון בדרך הארוכה. נבדוק את המקרים בהם המכנה חיובי ושלילי כפי שמוסבר כאן
5. נסכם את הפתרונות

בדיקת חיוביות ושליליות

תרגיל 1: ${\frac {x+2}{x-3}}\geq -4$

שלב א': נעביר את כל הגורמים לאגף אחד ${\frac {x+2}{x-3}}+4\geq 0$ שלב ב': נמצא מכנה משותף: ${\frac {x+2}{x-3}}+{\frac {4(x-3)}{x-3}}\geq 0$ ${\frac {(x+2)+4(x-3)}{x-3}}\geq 0$ ${\frac {x+2+4x-12}{x-3}}\geq 0$ ${\frac {5x-10}{x-3}}\geq 0$ נחלק בחמש :${\frac {x-2}{x-3}}\geq 0$ שלב ג': מכפילים במכנה בריבוע: ${\frac {x-2}{x-3}}\geq 0\qquad {\bigg /}\cdot (x-3)^{2}$ ${\frac {(x-2)(x-3)^{2}}{x-3}}\geq 0\qquad {\bigg /}\cdot (x-3)^{2}$ $(x-2)(x-3)\geq 0$ $x>3$ או $x\leq 2$ שלב ד': נסכם את הפתרונות $x>3$ או $x\leq 2$

הכפלה ללא משוואת אפס

תרגיל 2: ${\frac {x+2}{x-3}}\geq -4$

שלב א': נבדוק תחום הגדרה למכנה (מתי הוא מתאפס): $x\neq 3$ שלב ב': הצלחנו ליצר מבנה בו בצד אחד יש גורם חופשי ומצד שני שבר. אם כן נוכל להעזר בדרך הקלה ולהכפיל בשנייה. ${\frac {(x+2)(x-3)^{2}}{(x-3)}}\geq -4(x-3)^{2}$ שלב ג': נפתור $(x+2)(x-3)\geq -4(x^{2}-6x+9)$ $x^{2}+2x-3x-6\geq -4x^{2}+24x-36$ $x^{2}-x-6\geq -4x^{2}+24x-36$ $5x^{2}-25x+30\geq 0$ $x^{2}-5x+6\geq 0$ $x_{1}=2\quad ,\quad x_{2}=3$ $x\geq 3$ או $x\leq 2$ שלב ד': נסכם את הפתרונות $x>3$ או $x\leq 2$ סיכום והערות: לסיכום, הטכניקה היא הכפלת אי-השוויון במכנה בריבוע (כדי שיווצר ביטוי חיובי). משם פותרים רגיל. יש לשים לב כי מכפילים את שני האגפים בריבוע, ולא בטעות רק אחד מהם. יש לשים לב שתחום ההגדרה אינו נכלל בפתרון. הכללת תחום ההגדרה מהווה שגיאה חמורה.

דרך ארוכה

קיימים מצבים בהם אין לנו ברירה אלא לפתור באמצעות הדרך הארוכה

דוגמא 2

פתרו את אי-השוויון:

${\frac {x^{2}-9}{x+4}}\leq 0$

פתרון

נפתור את התרגיל בעזרת חלוקה למקרים. כדי שהשבר יהיה שלילי (רק שלילי) יש שתי אפשרויות:

1. $x^{2}-9<0$ וגם $x+4>0$
2. $x^{2}-9>0$ וגם $x+4<0$

נפתור את שתי האפשרויות בנפרד, ולבסוף נפעיל בין הפתרונות שלהן קשר "או":

1.

$(x-3)(x+3)<0$ וגם $x>-4$

$-3<x<3$ וגם $x>-4$

$-3<x<3$

2.

$(x-3)(x+3)>0$ וגם $x<-4$

$x>3{\big )}$ או ${\big (}x<-3$ וגם $x<-4$

$x<-4$

לכן הפתרון של שליליות השבר הוא: $x<-4$ או $-3<x<3$

כמו-כן, יש לבדוק מתי השבר מתאפס (כך נתבקשנו) ולכן:

${\frac {x^{2}-9}{x+4}}=0$

$x^{2}-9=0$

$x_{1}=-3\quad ,\quad x_{2}=3$

ולכן הפתרון הסופי הוא:

$x<-4$ או $-3\leq x\leq 3$

הפרק הקודם: אי־שוויונות עם ערך מוחלט

אי־שוויונות עם שברים תרגילים

הפרק הבא: אי־שוויונות ממעלה שלישית או יותר