מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/אסימפטוטות/אסימפטוטות אופקיות (המקבילות לציר X)

גרף הפונקציה $y={\frac {1}{x}}$ , שבו נוצרות שתי אסימפטוטות: לקו $y=0$ ולקו $x=0$

הגדרה

הגדרה: אסימפטוטה אופקית ישר המהווה גבול לפונקציה מפני שהיא אינה עוברת בערכיו. ערך ה-$x$ של הפונקציה שואף להיות במרחק הקטן ביותר מגבול זה כלומר $x$ שואף להיות במרחק אינסוף או למינוס אינסוף מאותו גבול. מגדירים את האסימפטוטה האופקית כך: ישר $y=b$ יקרא אסימפטוטה אופקית של פונקציה $f(x)$ אם הערך של $f(x)$ שואף ל-$b$ כאשר $x\rightarrow \infty$ ישר $y=b$ יקרא אסימפטוטה אופקית של פונקציה $f(x)$ אם הערך של $f(x)$ שואף ל-$b$ כאשר $x\rightarrow -\infty$

פתרון ארוך

להבדיל מאסימפטוטה אנכית, בה מצאנו את ערך ה-$x$ אליו שואפת הפונקציה להיות, באסימפטוט אופקית אנו נמצא אותו באמצעות הצבת ערכי ה-$x$ השואפים פעם ל-$\lim _{x\to \infty }$ (אליו נתייחס כאילו $x=\infty$) ופעם ל-$\lim _{x\to -\infty }$ (אליו נתייחס כאילו $x=-\infty$) כדי למצוא את גודל ערך ה-$y$ אליו הפונקציה שואפת להיות.

טענה: כלל החילוק באינסוף או במינוס אינסוף: אינסוף במכנה - כל מספר חלקי אינסוף שווה לערך השואף לאפס (כי מספר קטן חלקי מספר גדול שווה ל"כמו" אפס). אינסוף במונה - כל מספר אינסופי חלקי מספר שווה לערך "אין פתרון" (בדומה למספר חלקי אפס).

בעיה לאחר הצבה

בכדי להסביר את הבעיה נעזר בדוגמא.

נתונה הפונקציה: $y={\frac {x^{2}+5x}{x^{2}+x-20}}$ .

נמצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה ע"י הצבה, תחילה של $\lim _{x\to \infty }$ בפונקציה $y={\frac {x^{2}+5x}{x^{2}+x-20}}$ .

נקבל: $y={\frac {\infty ^{2}+5\infty }{\infty ^{2}+\infty -20}}$ .

כפי שניתן לראות קצת קשה להחליט מה היא התשובה כיון שלא ניתן לצמצם אף אחד מהערכים. לכן, בכדי שיצטמצמו לנו ערכים, אנו נעזר ב"טריק": נחלק את המונה והמכנה ב- x במעלה הגבוהה ביותר בה הוא קיים בפונקציה. כידוע, מותר לצמצם או להרחיב שבר ע"י חלוקה או הכפלה של המונה והמכנה באותו מספר, כל עוד הוא יישאר אותו שבר. כך, שכאשר נציב ב- x אינסוף, נוכל לעזר בהנחות הבאות בכללי חילוק במספר אינסופי.

הרחבה

הפונקציה: $\lim _{x\to \infty }$ בפונקציה $y={\frac {x^{2}+5x}{x^{2}+x-20}}$ .

ערך ה-$x$ הגבוה ביותר של הפונקציה הוא $x^{2}$.

נחלק בו את הפונקציה ונקבל: $y={\frac {{\frac {x^{2}}{x^{2}}}+{\frac {5x}{x^{2}}}}{{\frac {x^{2}}{x^{2}}}+{\frac {x}{x^{2}}}-{\frac {20}{x^{2}}}}}$.

נצמצם: $y={\frac {1+{\frac {5}{x}}}{1+{\frac {1}{x}}-{\frac {20}{x}}}}$

על-פי ההגדרה:
1. $\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {5}{x}}=0$ (כל מספר חלקי אינסוף שווה לערך השואף לאפס)

2. $\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0$ (כל מספר חלקי אינסוף שווה לערך השואף לאפס)

3. $\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {20}{x}}=0$ (כל מספר חלקי אינסוף שווה לערך השואף לאפס)

נציב את הנתונים על פי ההגדרה ב- y:‏ $y={\frac {1+{\frac {5}{x}}}{1+{\frac {1}{x}}-{\frac {20}{x}}}}={\frac {1+0}{1+0-0}}$ כלומר נקבל: $y={\frac {1}{1}}=1$

אסימפטוטה אופקית היא : $y=1$

שימו לב: ישנן פונקציות בהן יש לבדוק לחוד את ה- $\lim _{x\to \infty }$ ואת ה- $\lim _{x\to -\infty }$ . בדוגמא שלנו, התשובה זהה לשני המצבים, ולכן, לא פתרנו את הדרך לחוד עבור כל x" שואף".

דרך קצרה:שלושת הפתרונות

הדרך המקוצרת מתאימה רק לפונקציה רציונלית. שלושת הפתרונות הקיימים למשוואה אם כן הם:

1. $y=0$ (מתלכדת עם ציר x בגרף) - כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
2. אין אסימפטוטה המקבילה לציר x- כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
3. אסימפטוטה y שווה לערך מקדמי ה-x הגבוה - אם גם במונה וגם במכנה קיים אבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום ישארו רק המקדמים של האברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.

דוגמה 1: פונקציה: $y={\frac {x^{2}+5x}{x^{2}+x-20}}$ ערך ה-$x$ הגדול ביותר נמצא גם במונה וגם במכנה ולכן ערך האסימפטוטה יהיה ערך המקדמים (סעיף 3 בשלושת הפתרונות): מקדם ה-$x$ הגדול במונה: 1. מקדם ה-$x$ הגדול במכנה: 1. ערך האסימפטוטה: $y={\frac {1}{1}}=1$

דוגמה 2: פונקציה: $y={\frac {a{\sqrt {x+3}}}{x^{2}}}+5$ ערך ה-$x$ הגדול ביותר נמצא במכנה ועל כן אנו מקבלים מספר קטן חלקי גדול כלומר הערך של השבר הינו אפס. נוסיף אליו את ערך האיבר החופשי ונקבל כי האסימפטוטה האופקית שווה לחמש.

שימו לב: לא לשכוח לרשום מתי התשובה היא עבור $\lim _{x\to \infty }$ ומתי $\lim _{x\to -\infty }$ (ואם לשניהם אותה תשובה לציין פעמים את התשובה, פעם עבור $\lim _{x\to \infty }$ ופעם עבור $\lim _{x\to -\infty }$)

תיאור הגרף

הפונקציה תשאף להיות בעלת הערכים הקרובים ביותר לאסימפטוטה (הוכחה התבצעה בפרק אסימפטוטה אנכית באמצעות הצבת ערכים)

נקודת חיתוך של אסימפטוטה אופקית עם הפונקציה

בניגוד לאסימפטוטה אנכית, אסימפטוטה אופקית יכולה להיחתך על ידי הפונקציה עצמה ולכן, סעיף נוסף שיש להוסיף בתיאור גרף בו תהיה בדיקת נקודת חיתוך עם אסימפטוטה.

סעיף זה, הוא למעשה, מציאת נקודת חיתוך של הפונקציה עם הישר $y$ אסימפטוטה. כלומר, הפעולה אותה נבצע תהיה השוואה על ידי הצבת $y$ אסימפטוטה ב-$y$ הפונקציה.

דוגמא

הפונקציה: $y={\frac {x^{2}+5x}{x^{2}+x-20}}$ .
ערך האסימפטוטה: $y=1$
בדיקה עבור נקודות חיתוך בין אסימפטוטה אופקית לפונקציה (הצבה $y=1$):‏ $1={\frac {x^{2}+5x}{x^{2}+x-20}}$ .
נפטר מהמכנה: $x^{2}+x-20=x^{2}+5x$ .
נסדר אגפים: $4x=-20$
נמצא פתרון: $x=-5$ .

הפונקציה ואסימפטוטה אופקית נחתכים בנקודה $x=-5$ .