מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/המעגל/משוואת המיתר שבין שתי נקודות השקה

משוואת המיתר בין שתי נקודות השקה : אם מנקודה $P(x_{0},y_{0})$ נמצאת מחוץ למעגל $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ יוצאים שני משיקים למעגל, אזהי משוואת המיתר המחבר בין נקודות ההשקה $(AB)$ הוא $(x-a)(x_{0}-a)+(y-b)(y_{0}-b)=r^{2}$.

הפרמטרים שלנו: נקודה חיצונית, משוואת המעגל, משוואת המיתר ו(נקודות החיתוך של המיתר עם המעגל).

דוגמה 1: מציאת משוואת המיתר מהנקודה $(6,2)$ הנמצאת מחוץ למעגל $x^{2}+y^{2}=13$ יוצאים שני משיקים למעגל. מצא את משוואת המיתר המחבר את נקודות ההשקה. נציב בנוסחה של משוואת המיתר שבין שתי נקודות השקה את ערכי הנקודה החיצונית $(x-a)(x_{0}-a)+(y-b)(y_{0}-b)=r^{2}$ ונקבל $6*x+2*y=13$.

כשאר נתון לנו משוואת המיתר והמעגל ועלינו למצוא את נקודת המפגש החיצונית, נשווה בין משוואה המיתר הנתונה למשוואת המיתר לאחר הצבת $P(x_{0},y_{0})$ באמצעות הרדיוסים.

דוגמה 2: מציאת הנקודה החיצוני דרך נקודות החיתוך של הישר $x-3y+10=0$ והמעגל $x^{2}+y^{2}=50$ מעבירים משיקים למעגל. מצא את מפגש המשיקים (פתור מבלי למצוא את משוואת המשיקים). הפרמטרים הנתונים הם משוואת הישר והמעגל. בכדי למצוא את נקודה החיצונית $P(x_{1},y_{1})$ נציב אותם במשוואת המעגל $x^{2}+y^{2}=50$ ונשאף להגיע אל התוצאה שהיא משוואת המיתר הנתונה $x-3y+10=0$. הצבת הנקודה $P(x_{1},y_{1})$ מביאה $x_{1}*x+y_{1}*y-50=0$ השוואת רדיוסים - כפי שניתן לראות משוואת המיתר עם הנקודה $P(x_{1},y_{1})$ גדולה פי $5$ ממשואת המיתר הנתונה $x-3y+10=0$ לכן נחלק את המשוואה: ${\frac {x_{1}*x}{5}}+{\frac {y_{1}*y}{5}}-10=0$ השוואת המקדמים בהתאמה - נשוואה את המקדמים ${\frac {x_{1}}{5}}=1;{\frac {y_{1}}{5}}=-3$. מכאן שהנקודה החיצונית הינה$P(5,-15)$

הוכחה

בכדי לפשט את ההוכחה נדגים על מעגל קנוני שמשוואתו $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ונקודות ההשקה של שתי הישרים היוצאים מנקודה $P(x_{0},y_{0})$ יהיה $(x_{1},y_{1})$ וכן $(x_{2},y_{2})$.

משוואת המשיקים היא $x*x_{1}+y*y_{1}=r^{2}$ וכן $x*x_{2}+y*y_{2}=r^{2}$.

נציב בשתי המשוואות של המשיקים את הנקודה $P(x_{0},y_{0})$ דרכה עוברים שני הישירים ונחתכים: $x_{0}*x_{1}+y_{0}*y_{1}=r^{2}$ וכן $x_{0}*x_{2}+y_{0}*y_{2}=r^{2}$.

נחסיר את המשוואה הראשונה מהשניה נקבל $x_{0}(x_{2}-x_{1})+y_{0}(y_{2}-y_{1})=0$

נעביר את ה-$x$ לאגף השני ונקבל $y_{0}(y_{2}-y_{1})=-x_{0}(x_{2}-x_{1})$ נחלק ב- $y_{0}$ וכן גם $(x_{2}-x_{1})$ ונקבל ${\frac {(y_{2}-y_{1})}{(x_{2}-x_{1})}}={\frac {-x_{0}}{y_{0}}}$

הביטוי השמאלי במשוואה הוא למעשה משוואת השיפוע ($m={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-y_{2}}}$) עבור שיפוע המיתר. במילים אחרות שיפוע המיתר הינו ${\frac {-x_{0}}{y_{0}}}$.

נמצא את משוואת המיתר: $y-y_{1}={\frac {-x_{0}}{y_{0}}}(x-x_{1})$

נפטר מהמכנה ונקבל: $y*y_{0}-y_{1}*y_{0}=-x_{0}(x-x_{1})$

נפתח את המשוואה $y*y_{0}-y_{1}*y_{0}=-x_{0}*x+x_{0}*x_{1}$

נסדר את המשוואה בהתאם למשוואת המעגל הכללית: $x_{0}x+yy_{0}=x_{0}*x_{1}+y_{1}*y_{0}$

אם נציב את הנקודה $(x_{1},y_{1})$ במשוואת המעגל בה עוברת, נקבל $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=r^{2}$ ולכן ניתן להחליף במשוואה לעיל את האגף השמאלי בתוצאה המתקבלת ממשוואת המעגל. במילים אחרות $x_{0}x+yy_{0}=r^{2}$.

משוואת המיתר במעגל קנוני $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ הינה $x_{0}x+yy_{0}=r^{2}$.

באופן דומה ניתן להוכיח עבור מעגל שאינו קנוני.