מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/המעגל/משוואת המיתר שבין שתי נקודות השקה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Segmentos-tangentes-teorema-pitot.png

משוואת המיתר בין שתי נקודות השקה : אם מנקודה נמצאת מחוץ למעגל יוצאים שני משיקים למעגל, אזהי משוואת המיתר המחבר בין נקודות ההשקה הוא .

הפרמטרים שלנו: נקודה חיצונית, משוואת המעגל, משוואת המיתר ו(נקודות החיתוך של המיתר עם המעגל).


דוגמה 1: מציאת משוואת המיתר

מהנקודה הנמצאת מחוץ למעגל יוצאים שני משיקים למעגל. מצא את משוואת המיתר המחבר את נקודות ההשקה.

נציב בנוסחה של משוואת המיתר שבין שתי נקודות השקה את ערכי הנקודה החיצונית ונקבל .


כשאר נתון לנו משוואת המיתר והמעגל ועלינו למצוא את נקודת המפגש החיצונית, נשווה בין משוואה המיתר הנתונה למשוואת המיתר לאחר הצבת באמצעות הרדיוסים.


דוגמה 2: מציאת הנקודה החיצוני

דרך נקודות החיתוך של הישר והמעגל מעבירים משיקים למעגל. מצא את מפגש המשיקים (פתור מבלי למצוא את משוואת המשיקים).

הפרמטרים הנתונים הם משוואת הישר והמעגל. בכדי למצוא את נקודה החיצונית נציב אותם במשוואת המעגל ונשאף להגיע אל התוצאה שהיא משוואת המיתר הנתונה .

הצבת הנקודה מביאה

השוואת רדיוסים - כפי שניתן לראות משוואת המיתר עם הנקודה גדולה פי ממשואת המיתר הנתונה לכן נחלק את המשוואה:

השוואת המקדמים בהתאמה - נשוואה את המקדמים .

מכאן שהנקודה החיצונית הינה


הוכחה[עריכה]

בכדי לפשט את ההוכחה נדגים על מעגל קנוני שמשוואתו ונקודות ההשקה של שתי הישרים היוצאים מנקודה יהיה וכן .

משוואת המשיקים היא וכן .

נציב בשתי המשוואות של המשיקים את הנקודה דרכה עוברים שני הישירים ונחתכים: וכן .

נחסיר את המשוואה הראשונה מהשניה נקבל

נעביר את ה- לאגף השני ונקבל נחלק ב- וכן גם ונקבל

הביטוי השמאלי במשוואה הוא למעשה משוואת השיפוע () עבור שיפוע המיתר. במילים אחרות שיפוע המיתר הינו .

נמצא את משוואת המיתר:

נפטר מהמכנה ונקבל:

נפתח את המשוואה

נסדר את המשוואה בהתאם למשוואת המעגל הכללית:

אם נציב את הנקודה במשוואת המעגל בה עוברת, נקבל ולכן ניתן להחליף במשוואה לעיל את האגף השמאלי בתוצאה המתקבלת ממשוואת המעגל. במילים אחרות .

משוואת המיתר במעגל קנוני הינה .

באופן דומה ניתן להוכיח עבור מעגל שאינו קנוני.