מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/כיצד פותרים תרגיל בגיאומטריה?

פתירת תרגיל בגיאומטריה צריכה להיות קלה אם אנו יודעים את המשפטים ונתוני השאלה. חרף זאת, רבים מתקשים לפתור תרגילים. מטרתו של דף זה הוא לתת כלים נוספים לפתירת תרגיל בגיאומטריה כאשר הפותר הוא בעל כל הידע הקודם הדרוש.

המלצות:

1. השרטוט הוא כלי להבנה והדגמה - אם לא מסומן בברור נתון כמו זווית 90 מעלות, אין להסיק מתוך השרטוט עצמו. מנגד השרטוט מקנה לנו אומדנים אשר באמצעותם ניתן להעריך האם יש אפשרות להנחה שלנו. למשל ניתן להעריך האם יתכן שזווית מסוימת תהיה גדולה, קטנה או שווה ל-90 מעלות - אך להסיק. השימוש בהיגיון יכול לעזור לנו לבטל תוכניות לפתרון. למשל אם חשב הפותר לפתור תרגיל באמצעות הוכחה כי צורה מסוימת היא מקבילית, אך השרטוט מציג צורה שלעולם לא תיהיה בעלת צלעות מקבילות, על הפותר לנסות דרך אחרת.
2. שרטוט על דף נפרד את התרגיל והעלאת נתונים טכניים.
3. רשימת נתונים שהם מסקנה מתוך הנתונים ורלוונטים לשאלה. למשל אם נתון כי שתי צלעות מקבליות, נסמן את הזוויות המתאימות רק במידה והנתון רלוונטי לשאלה. סימון רב מדי יקשה על קריאת השרטוט ולכן אם מצוין כי מצולע הוא ריבוע, לא נתחיל לעלות את כלל המשפטים של צורה זו. במקרה ואנו לא מציינים מסקנה, נקיף בעיגול את הנתון כדי לזכור שממנו ניתן להפיק עוד נתונים במידה ואנו נתקעים.
4. בעת פתרון תרגיל בגיאומטריה אוקלידית חשוב לזהות עם מה אנו עובדים ועל מה שואלים. כלומר מה היא הצורה עמה אנו עובדים (משולש, ריבוע, עיגול וכו'), וכן מה אנו מנסים למצוא (זווית, צלע וכו'). אם הצורה אינה ברורה, ניצור צורה שאנו מכירים.
5. יש לחפש את האזור בתרגיל בו יש את מירב הנתונים ולקבץ בו את יתר הנתונים. לפעמים יווצר מצב בו מתחילים לפתור את התרגיל מצורה המכילה בתוכה את רוב הצורות וממנה נעביר את הנתונים אל הצורה בה אנו צריכים להוכיח.
6. אם אין קשר בין הנתונים, ניצור קשר בין הנתונים על ידי בנית קו עזר.
7. אלו משפטים עומדים לפנינו?

מה עושים אם נתקעים?

1. אם יש סעיף קודם יש לזכור כי תמיד קיים קשר בין סעיף הקודם לזה הבא אחריו.
2. האם ניצלנו את כל הנתונים? נתונים אותם הקפנו בעיגול ולא הוצאנו מהם את הנתונים.
3. לנסות לפתור את התרגיל מהכיוון השני, מהכיוון אליו לא היינו מנסים
4. לחפש שוב את הצורה המרכזת את הנתונים.
5. האם יש לפנינו את כל המשפטים הדרושים לנו?

תרגיל 1: תרגיל נתון: המשולשים ABC, CDE ו-BEF זוויות ישרות: $\angle BCA=90^{\circ }$ $\angle ACF=90^{\circ }$ $\angle FEB=90^{\circ }$ FEB, BCE, ACD שווי צלעות BE=AD $\triangle EBC\cong ADC$ צ"ל: AFED מקבילית

עם מה אנחנו עובדים? משולשים (עדין לא יודעים איזה) מה אנחנו צריכים? מקבילית. מאחר וחסר לנו צלע ניצור קן עזר FA. היכן רוב הנתונים? על פי הנתון BE=AD נראה כי רוב הנתונים מצויים בחלק התחתון של המקבילית, כלומר משולש ADE ובו ננסה לרכז את יתר הנתונים בידינו. אלו משפטים לפנינו? צלע נוספת שווה או צלע מקבילה תרגיל הוכחה: נוכיח כי FE=AD: FE=EB נתון משולש שווי צלעות. $\triangle EBC\cong ADC$ AD=EB צלעות מתאימות במשולשים חופפים. FE=AD כלל המעבר. (צלע שווה) עתה חסר לנו או צלע נוספת שווה או צלע מקבילה. מאחר ויש לנו בתרגיל זוויות ובנוסף רוב הנתונים קיימים בצדו התחתון של המקבילית נעזר במשפט השני וננסה להוכיח כי הצלעות לא רק שוות אלא גם מקבילות. כדי להוכיח כי הצלעות מקבילות אנו צריכים זוג זוויות מתחלפות או מתיאמות. כלומר זוג זוויות שנוכל להוכיח שהן שוות ונמצאות בין המקבלים. הזווית שכדי להתחיל איתה נמצאת בין המקבילים לעתיד FE ו-AD , $\angle ADE$ מאחר והיא נמצאת במקביל בצדו התחתון להבדיל מ-ADF שרחוק מהנתונים. ננסה זווית מתחלפת: $\angle ADE$ יכולה להתחלף עם הזווית הנוצרת בין DE ו-המשכו של FE. ניצור קו עזר EO המשכו של FE. עתה נוכיח כי $\angle ADE=\angle DEO$ $\angle ADE$ היא חלק ממשולש ECD שבו סכום הזויות הוא 180 מעלות $\angle ADE=180-90-\angle CED-\angle CDA$ $\angle DEO$ חלק מישר כאשר $\angle BEO=90^{\circ }$ $\angle DEO=90-\angle CED-\angle BEC$ $\angle BEC=\angle CDA$ ז.מ.ב.ח $\downarrow$ $FE\shortparallel AD$ $\downarrow$ AFED מקבילית אחד הניסיונות הנפוצים לפתרון התרגיל הוא באמצעות המשפט זוג זוויות שוות במקבילית כלומר להוכיח כי זווית D ו-F שוות. ניסיון כזה מסרבל מאוד את השרטוט ומרחיק את הנתונים מהמשולש בו מרוכזים רוב המידע. לכן באה ההמלצה לשנות את כיוון פתרון התרגיל.