מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית/מעגל

עד כה למדנו לחקור משוואה ממעלה שנייה ($ax^{2}+bx+c=0$) כאשר בחנו שני מקרים: הראשון שהמשוואה מייצגת פרבולה והשניה כאשר $a=0$ ישר. בפרק זה נלמד כי משוואה ריבועית בתנאים מסוימים יכולה לייצג גם מעגל.

ראשית נציג את התנאים באופן כללי ומופשט. טענו כי משוואת המעגל הינה $\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ אם נפתח אותה נראה כי $x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2yb+b^{2}-r^{2}=0$ המקדמים של $x^{2}$ ו-$y^{2}$ זהים וכן $xy=0$. במילים אחרות אם המשוואה הכללית ממעלה שנייה תענה על תנאים אלו נוכל לטעון כי היא מייצגת מעגל.

עתה נבחן את המשוואה הכללית ממעלה שנייה ונראה מתי היא מציגה מעגל.

חקירת משוואה ממעלה שנייה - מעגל

המשוואה הכללית ממעלה שנייה הינה $Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0$ כאשר $A,B\neq 0$ (אחרת אין משוואה ממעלה שנייה).

בכדי שהמשוואה הזו תיצג מעגל, אנו יודעים כי $A=B$ ולכן נציב במשוואה נעלם אחד בלבד ונקבל את המשוואה $Ax^{2}+Ay^{2}+Cx+Dy+E=0$.

מחקירות קודמות אנו יודעים כי משוואה זו יכולה לייצג משוואה לא רק של מעגל אלא גם של נקודה או של קבוצה ריקה. בהמשך נרחיב על כך.

בכדי לפשט את המשוואה נשאף להגיע עמה לנוסחה הכללית של המעגל, דהיינו $\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$.

לשם כך נחלק את המשוואה שלנו ב-$A$: $x^{2}+y^{2}+{\frac {Cx}{A}}+{\frac {Dy}{A}}+{\frac {E}{A}}=0$

בדומה לפיתוח בפרק משוואת מעגל המפותחת, גם עתה נמיין את האברים על פי המשוואה הכללית של מעגל ונקבל $x^{2}+{\frac {Cx}{A}}+y^{2}+{\frac {Dy}{A}}+{\frac {E}{A}}=0$

נרצה נוסיף ונחסיר אברים על מנת שנוכל להכניס את האיברים לסוגירים, $x^{2}+{\frac {Cx}{A}}+{\frac {C^{2}}{4A^{2}}}-{\frac {C^{2}}{4A^{2}}}+y^{2}+{\frac {Dy}{A}}+{\frac {D^{2}}{4A^{2}}}-{\frac {D^{2}}{4A^{2}}}+{\frac {E}{A}}=0$

שוב נמיין את האברים על פי המשוואה הכללית של מעגל $x^{2}+{\frac {Cx}{A}}+{\frac {C^{2}}{4A^{2}}}+y^{2}+{\frac {Dy}{A}}+{\frac {D^{2}}{4A^{2}}}+{\frac {E}{A}}-{\frac {C^{2}}{4A^{2}}}-{\frac {D^{2}}{4A^{2}}}=0$

נכניס את האברים לסוגריים ונקבל $(x+{\frac {Cx}{2A}})^{2}+(y+{\frac {Dy}{2A}})^{2}=-{\frac {E}{A}}+{\frac {C^{2}}{4A^{2}}}+{\frac {D^{2}}{4A^{2}}}$

נמצא מכנה משותף לרדיוס: $(x+{\frac {Cx}{2A}})^{2}+(y+{\frac {Dy}{2A}})^{2}=-{\frac {c^{2}+D^{2}-4AE}{4A^{2}}}$

עתה נוכל לבחון את המצבים השונים של המשוואה בכדי לדעת מתי היא מציגת מעגל, מתי היא מיצגת מעגל, מתי מיצגת נקודה ומתי מיצגת קבוצה ריקה.

1. אם $c^{2}+D^{2}-4AE>0$ גם ${\frac {c^{2}+D^{2}-4AE}{4A^{2}}}>0$ מפני שמספר חיובי חלקי מספר חיובי ($4A^{2}>0$ תמיד) נותן תוצאה חיובית בתנאי ש $A\neq 0$. במקרה זה נקבל מעגל שמרכזו $M({\frac {-C}{2A}},{\frac {-D}{2A}})$ ורדיוסו $R={\frac {\sqrt {C^{2}+D^{2}-4AE}}{|2A|}}$
2. אם $c^{2}+D^{2}-4AE=0$ גם $(x+{\frac {Cx}{2A}})^{2}+(y+{\frac {Dy}{2A}})=0$. כאשר סכום של שני ריבועים הוא אפס, כל אחד מהם שווה לאפס, כלומר $x+{\frac {C}{2A}}=0$ ו-$y+{\frac {D}{2A}}=0$. אם נפתח את המשוואות נראה כי הם מייצגות את ערכה של נקודה בודדת $({\frac {-C}{2A}},{\frac {-D}{2A}})$
3. אם $c^{2}+D^{2}-4AE<0$ גם $(x+{\frac {Cx}{2A}})^{2}+(y+{\frac {Dy}{2A}})<0$ פתרון לא אפשרי מספני שמספר בריבוע חייב לתת תוצאה גדולה מאפס. במילים אחרות, זו דוגמה לקבוצה ריקה.

• כאשר יבקשו מאתנו את הרדיוס הקטן ביותר או הגדול ביותר, נבצע גזירה עבור האגף השמאלי, המייצג את הרדיוס ונבדוק מתי הוא קטן או גדול (לדוגמה לחץ כאן)

דוגמה

מצא לאילו ערכי $k$ המשוואה $x^{2}+y^{2}-(2k-8)x-(2k-4)y+2=0$ הבאה מייצגת: מעגל, נקודה בודדת (וכן מצא אותה) וקבוצה ריקה.

בכדי שנוכל לחקור את המשוואה עלינו להמירה את המשוואה הכללית של המעגל

שלב א': נסדר את המשוואה על פי המשוואה הכללית של המעגל, ${\begin{aligned}x^{2}-(2k-8)x+y^{2}-(2k-4)y=2\\\end{aligned}}$

שלב ב': נוסיף ונחסיר איברים על מנת שהמשוואה תוכל להכנס לסוגרים $x^{2}-(2k-8)x+(k-4)^{2}-(k-4)^{2}+y^{2}-(2k-4)y+(k-2)^{2}-(k-2)^{2}=2$

למי שמתקשה לדעת איזה פרמטר יש לעלות בשנייה יכולה להעזר בנוסחה הכפל המקוצר לפיה $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$. במילים אחרות, $2ab=-(2k-8)$. מאחר שאנו יודעים את מקדם $x^{2}$ (אחד), נציבו $2b=-(2k-8)$ ונוכל לגלות את $b$.

שלב ג': נכניס לסוגרים $(x-(k-4))^{2}-(y-(k-2))^{2}=-2+(k-4)^{2}+(k-2)^{2}$

שלב ד': נמצא מתי המשוואה מציגה נקודה בודדת:

${\begin{aligned}-2+(k-4)^{2}+(k-2)^{2}=0\\-2+k^{2}-8k+16+k^{2}-4k+4=0\\2k^{2}-12k+18=0\\k^{2}-6k+9=0\\(k-3)^{2}=0\\k=3\\\end{aligned}}$

נמצא את הנקודה באמצעות הצבה במשוואת המעגל:

${\begin{aligned}(x-(k-4))^{2}-(y-(k-2))^{2}=-2+(k-4)^{2}+(k-2)^{2}\\(x-(3-4))^{2}-(y-(3-2))^{2}=-2+(3-4)^{2}+(3-2)^{2}\\(x+1)^{2}-(y-1)^{2}=-2+1+1\\(x+1)^{2}-(y-1)^{2}=0\\\end{aligned}}$

מאחר ששני הביטוים בחזקת שתים ניתן להשוואת כל אחד מהם לאפס כלומר $(x+1)^{2}=0$ וגם $-(y-1)^{2}=0$. פתרון כל אחת מהמשוואות נותן את ערכי הנקודה הבודדת $(-1,1)$

שלב ה': נמצא מתי $k$ מעגל ומתי קבוצה ריקה.

מאחר ש$(k-3)^{2}>0$ תמיד גדול מאפס (מפני שהאגף הימיני בריבוע), נוכל לטעון כי עבור כל $k$ פרט כאשר $k\neq 3$

מאותה סיבה לעולם המשוואה תהיה קטנה מאפס ($(k-3)^{2}<0$).