מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/המעגל/המשוואה הכללית של המעגל

המעגל = מקום גיאומטרי בו המרחק (רדיוס) של כל הנקודות מנקודת המרכז שווה. במילים אחרות, מה שמבדיל בין מעגל אחד למעגל שני הוא המרחק בין נקודת המרכז ליתר הנקודות.

משוואת המעגל הפשוטה

בדומה למשוואת הישר, ננסה להגדיר את משוואת המעגל.

מה שמבדיל בין מעגל אחד למשהו הוא המרחק מנקודת המרכז אל נקודה אחרת על המעגל. במילים אחרות הפרמטרים העומדים לרשותנו נקודת מרכז $M(a,b)$, רדיוס ($r$) ונקודה על המעגל: $P(x,y)$.

בכדי לאמוד את המרחק מנקודת המרכז לנקודה אחרת על המעגל נעזר בנוסחת המרחק ($d={\sqrt {{(x_{1}-x_{2})}^{2}+{(y_{1}-y_{2})}^{2}}}$) : $d_{M-P}={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}$

המרחק של נקודת המרכז מנקודה על המעגל היא למעשה הרדיוס ולכן ניתן לומר כי משוואת המעגל הינה: $r={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}$
נעלה בשניה את המשוואה ונקבל את משוואת המעגל: $\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

מציאת משוואת המעגל באמצעות רדיוס ונקודת מרכז

דוגמה 1: מצא את משוואת הישר אשר נקודת המרכז שלו היא $M(-5,4)$ ורדיוסו שווה $R={\sqrt {50}}$ נציב במשוואת הישר : $\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ ונקבל, $\ (x+5)^{2}+(y-4)^{2}=50$.

המשוואה הנוכחית מציגה את אי החשיבות שיש לנקודה על המעגל עבור משוואת הישר. במילים אחרות, מה שמבדיל בין מעגל אחד למשהו היא נקודת המרכז וגודל הרדיוס (המרחק מנקודת המרכז לנקודת אחרת). לכן תמיד נוכל להציב ערכים של נקודות שונות במשוואת המעגל ללא פגיעה במהותה.

חילוץ הרדיוס ונקודת המרכז מהמשוואה

כדי למצוא את נקודת המרכז והרדיוס נעזר תמיד בנוסחה הפשוטה של משוואת המעגל: $\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$.

נזכור כי הפרמטרים $a$ ו-$b$ מציגים את ערכי ה-$x$ וה-$y$ דהינו $M(a,b)$. נשם לב ליחס ההפוך של המקדמים ל- $a$ ו-$b$ . כאשר הם במינוס, ערכי $x$ ו- $y$.

דוגמה 2: מצא את הרידוס ונקודת המרכז של המעגל $(x+4)^{2}+(y-7)^{2}=80$ משוואת המעגל מיצג את נקודת המרכז מיוצגים באמצעות $a,b$ והרדיוס הוא למעשה שורש של האגף השמאלי במשוואה: $\ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ לפיכך $M(-4,7)$ $r={\sqrt {8}}0$