מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 95 סעיף 11

הראה שלכל $k$ המשוואה $x^{2}+y^{2}-(2k-8)x+2ky-1=0$ מייצגת מעגל ומצא את הרדיוס הקטן ביותר האפשרי למעגל.

כדי להראות שהמשוואה מייצגת מעגל צריך להביא אותה לצורת המשוואה של מעגל :

${\begin{aligned}x^{2}-(2k-8)x+y^{2}+2ky-1=0\\x^{2}-2(k-4)x+(k-4)^{2}-(k-4)^{2}+y^{2}+2ky+k^{2}-k^{2}-1=0\\(x-(k-4))^{2}+(y+k)^{2}=k^{2}+1+k^{2}-8k+16\\(x-(k-4))^{2}+(y+k)^{2}=2k^{2}-8k+17\\\end{aligned}}$

נמצא נקודות קיצון עבור $f(k)=2k^{2}-8k+17$

${\begin{aligned}f'(k)=4k-8\\k=2\end{aligned}}$

נמצא נקודה אחת, נבדוק האם היא מינמום או מקסימום: $f''(2)=4>0\ \rightarrow \ MIN$

נמצא את ערך $f(k)$ על ידי הצבת ה-$k=2$ בפונקציה: $f(k)=2k^{2}-8k+17=8-16+17=9=r^{2}$

ולכן הרדיוס המינימלי הוא : $r=3$