תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־17:39, 30 באפריל 2010

נגזרת היא שיפוע לפונקציה שאינה דווקא פונקציה ישרה/לינארית ( $\ y=mx+n$ ). מסומנת $\ f'(x)$ .
חשיבות הנגזרת : מסייעת לנו לחקור פונקציה נתונה ולמצוא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה, נקודות קיצון ועוד.
משיק - ישר העובר דרך נקודה כלשהי על העקומה וכיוונו זהה לכיוון העקומה באותה נקודה. המשיק הינו קו ישר הנוגע ("נושק") לפונקציה בנקודה, אך הוא לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר.
נקודת ההשקה - נקודה קבועה על הפונקציה ממנה מעבירים את המשיק. במהלך הפרק נסמן אותה כ : (a,b).

ה"בעיה" במציאת נגזרת

בניגוד לפונקציה ישרה, לה יש שיפוע שאינו משתנה מנקודה לנקודה, אצל שאר הפונקציות ניתן להעביר מספר משיקים מנקודת ההשקה ולקבל ערך שיפוע שונה. במילים אחרות, בפונקציה ישרה, ניתן לקחת כל שתי נקודות על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.

לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן, החליטו כי הנגזרת של שיפוע יקבע על פי המשיק הקצר ביותר (= ישר גבולי) שניתן להעביר בין נקודת ההשקה לנקודה הקרובה ביותר אליה. כיוון שככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק.

דוגמא

הגדרות

הפונקציה : $\ y=x^{2}$
$\ A$ - נקודת ההשקה : $\ (a,b)$ . נניח כי נקודת ההשקה שלנו היא $\ (1,1)$ .
$\ B$ - נקודה שנייה : $\ (x,y)$ - יכולה להיות כל הנקודות הקיימות על הפנקציה (פרט מנקודת ההשקה). השאיפה שלנו היא שהנקודה תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה בכדי שערך השיפוע יהיה המדוייק ביותר. במקרה שלנו (הצבה בפונקציה למציאת הקשר בין $\ x$ ל- $\ y$ ), הנקודה היא $\ (x,x^{2})$ .
השיפוע : $\ y={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

מציאת הנגזרת

מימן או משמאל? - נזכיר כי הנקודה B יכולה להיות מימן ל- $\ A$ $\ A$ או משמאלה.
- אם הנקודה $\ B$ מימן ל- $\ A$ ערכי $\ X$ שלה גדולים מ-1 (מערך $\ x_{A}$ ).
- אם הנקודה $\ B$ משמאל ל- $\ A$ ערכי ה- $\ X$ שלה קטנים מ-1 (מערך $\ x_{A}$ ).
נזכיר : ככל שהנקודה תהיה קרובה יותר לנקודת ההשקה, כך ערך השיפוע יהיה מדוייק יותר.

$\ x$ מימן :

0.9	0.8	0.7	X
1.9	1.8	1.7	$\ m={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2).

$\ x$ משמאל :

1.1	1.2	1.3	X
2.1	2.2	2.3	$m={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך $\ x$ של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2) כיוון שככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק

טבלה

אם נביט בטבלה, נוכל לראות שוב כי ככל שערכי ה- $\ X$ מתקרבים לערך של אחד, כך, מגיעים אל ערך השיפוע המדויק יותר.

x	y	הנקודה	שיפוע הישר
5	25	(5,25)	${\frac {25-1}{5-1}}=6$
4	16	(4,16)	${\frac {16-1}{4-1}}=5$
3	9	(3,9)	${\frac {9-1}{3-1}}=4$
2	4	(2,4)	${\frac {4-1}{2-1}}=3$
1.5	2.25	(1.5,2.25)	${\frac {2.25-1}{1.5-1}}=2.5$
1.3	1.69	(1.3,1.69)	${\frac {1.69-1}{1.3-1}}=2.3$
1.1	1.21	(1.1,1.21)	${\frac {1.21-1}{1.1-1}}=2.1$
1.05	1.1025	(1.05,1.1025)	${\frac {1.1025-1}{1.05-1}}=2.05$
1.01	1.0201	(1.01,1.0201)	${\frac {1.0201-1}{1.01-1}}=2.01$

גבול (lim)

התהליך ארוך; בנית טבלה, חישוב ערכים וניסיונות להגיע אל הנקודה הקרובה ביותר אל ערך $\ X$ של נקודת ההשקה - ארוך ומתיש!
חישוב המתבצע באמצעות $\ lim$ מקצר את כל הדרך.

החישוב מתבצע כך : $\ limM$ ופירוק לגורמים (m הוא השיפוע) :

הפונקציה $\ y=f(x)$
נקודת ההשקה $\ (x_{0},f(x_{0}))$ .
נקודה על הפונקציה : $\ (x,y)$ ,
נחשב את השיפוע בין שתי הנקודות: $\ m={\frac {y-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ .
$\ lim$ - נבדוק מה קורה לביטוי כאשר $\ x$ מתקרב מאוד ל- $\ x_{0}$ .

דוגמא

נמשיך בדוגמא לעיל. נחשב את ערך הנגזרת שלה באמצעות $\ lim$ . על פי הנתונים : $\ lim{\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

טענו כי אנו שואפים שהנקודה השנייה (B), תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה (A). לכן, במקום לרשום את הערכים שקטנים וגדולים מ-X_A (כפי שניתן בדוגמא למעלה), אנו אומרים כי X_B שואף להיות X_A (הנקודה הכי, הכי קרובה ל-X_A - רוצה להיות שווה X_A). נרשום זאת כך : $lim_{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

מעתה, אנו מתייחסים אל $x_{B}$ כשווה ל- $x_{A}$ .

נפרק את הגבול לגורמים ונקבל : $lim_{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x-1)(x+1)}{x-1}}=x+1$

כיוון שטענו כי $\ X_{a}=X_{b}$ , נציב את $\ x_{A}=1$ בגבול. $lim_{x\to 1}(x+1)=1+1=2$ .

מכאן, ששיפוע הפונקציה $\ f(x)=x^{2}$ הוא 2. בדיוק אותה מסקנה שגילנו בדרך הטבלאות.

נוסחאות גזירה

פונקציה גזירה

את נוסחא הגבול פיתחו וגילו "גזירות" (דרכים) דומות לפונקציות דומות. כיום, אנו מכירים דרכים שונים לגזירת נגזרות ללא צורך בנוסחאת ה- $\ lim$ . לרשימה של פונקציות גזירה ראה נושא הבאה רשימת נגזרות והוכחתן.

פונקציה חדשה

קיים מגוון רחב של פונקציות, אך, רובן הן שילוב של שתים, שלוש ויותר, פונקציות. כלומר, אם נחבר שתי פונקציות (נחבר ערכים של נקודות הפונקציה), נוכל לקבל פונקציה חדשה - פונקצית סכום.
במהלך הכרך נלמד למצוא נגזרת של "פנקציה חדשה" בקלות. גם נושא זה יכלל בערך רשימת נגזרות והוכחתן.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-'''נגזרת -''' שיפוע ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|פונקציה]] שאינה דווקא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה/לינארית]] (y=mx+n). מסומנת <math>\ f'(x)</math>. .
+'''נגזרת''' היא '''שיפוע''' ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|פונקציה]] שאינה דווקא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה/לינארית]] (<math>\ y=mx+n</math>). מסומנת <math>\ f'(x)</math>. <br />
-: חשיבות הנגזרת : מסייעת לנו לחקור פונקציה נתונה ולמצוא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|תחומי עלייה וירידה]] של הפונקציה, [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודות קיצון]] ועוד.
+חשיבות הנגזרת : מסייעת לנו לחקור פונקציה נתונה ולמצוא [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|תחומי עלייה וירידה]] של הפונקציה, [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודות קיצון]] ועוד. <br />
+'''[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/משיק|משיק]] -''' ישר העובר דרך נקודה כלשהי על העקומה וכיוונו זהה לכיוון העקומה באותה נקודה. המשיק הינו קו ישר הנוגע ("נושק") לפונקציה בנקודה, אך הוא לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר. <br />
 '''נקודת ההשקה -''' נקודה קבועה על הפונקציה ממנה מעבירים את המשיק. במהלך הפרק נסמן אותה כ : (a,b).
+=ה"בעיה" במציאת נגזרת=
-'''[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/משיק|משיק לפונקציה]] -''' קו ישר הנוגע ("נושק") לפונקציה בנקודה, אך לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר. שיפועו של המשיק בנקודה מסוימת נקרא נגזרת הפונקציה בנקודה.
-==ה"בעיה" במציאת נגזרת==
 [[קובץ:Linear function.JPG|right|thumb|100px| עבור אותה נקודת השקה,נקבל את אותו שיפוע מכל נקודה שקיימת על הפונקציה]]
 [[קובץ:Tangent as Secant Limit.svg|left|thumb|200px|בפרבולה ניתן להעביר מספר משיקים]]
@@ שורה 13: / שורה 11: @@
 לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן, החליטו כי הנגזרת של שיפוע יקבע על פי המשיק הקצר ביותר (= '''ישר גבולי''') שניתן להעביר בין נקודת ההשקה לנקודה הקרובה ביותר אליה. כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''.
+<br /><br /><br />
-===דוגמא===
+==דוגמא==
-====הגדרות====
+===הגדרות===
 [[קובץ:Quadratic_function.JPG|left|thumb|150px|]]
-'''הפונקציה :''' <math>y=X^2</math> <br />
+'''הפונקציה :''' <math>\ y=x^2</math> <br />
-'''A - נקודת ההשקה :''' (a,b). נניח כי נקודת ההשקה שלנו היא (1,1).<br />
+'''<math>\ A</math> - נקודת ההשקה :''' <math>\ (a,b)</math>. נניח כי נקודת ההשקה שלנו היא <math>\ (1,1)</math>.<br />
-'''B - נקודה שנייה :''' (X,y) - יכולה להיות כל הנקודות הקיימות על הפנקציה (פרט מנקודת ההשקה). ה''<span style="color: BLUE;">שאיפה</span>'' שלנו היא שהנקודה תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה בכדי שערך השיפוע יהיה המדוייק ביותר. במקרה שלנו (הצבה בפונקציה למציאת הקשר בין X ל-Y), הנקודה היא (x,x<sup>2</sup>).
+'''<math>\ B</math> - נקודה שנייה :''' <math>\ (x,y)</math> - יכולה להיות כל הנקודות הקיימות על הפנקציה (פרט מנקודת ההשקה). ה''<span style="color: BLUE;">שאיפה</span>'' שלנו היא שהנקודה תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה בכדי שערך השיפוע יהיה המדוייק ביותר. במקרה שלנו (הצבה בפונקציה למציאת הקשר בין <math>\ x</math> ל-<math>\ y</math>), הנקודה היא <math>\ (x,x^2)</math>.
 <br />
-'''השיפוע : ''' <math>y=\frac{x^2-1}{x-1}</math>
+'''השיפוע : ''' <math>\ y=\frac{x^2-1}{x-1}</math>
-====מציאת הנגזרת====
+===מציאת הנגזרת===
-*'''מימן או משמאל? -''' נזכיר כי הנקודה B יכולה להיות מימן ל-A או משמאלה.
+*'''מימן או משמאל? -''' נזכיר כי הנקודה B יכולה להיות מימן ל-<math>\ A</math> או משמאלה.
-** אם הנקודה B מימן ל-A ערכי X שלה גדולים מ-1 (מערך X<sub>A</sub>).
+** אם הנקודה <math>\ B</math> מימן ל-<math>\ A</math> ערכי <math>\ X</math> שלה גדולים מ-1 (מערך <math>\ x_A</math>).
-** אם הנקודה B משמאל ל-A ערכי ה-X שלה קטנים מ-1 (מערך X<sub>A</sub>).
+** אם הנקודה <math>\ B</math> משמאל ל-<math>\ A</math> ערכי ה-<math>\ X</math> שלה קטנים מ-1 (מערך <math>\ x_A</math>).
 * נזכיר : ''ככל שהנקודה תהיה קרובה יותר לנקודת ההשקה, כך ערך השיפוע יהיה מדוייק יותר''.
-X מימן :
+<math>\ x</math> מימן :
 {| class="wikitable" border="1"
 | 0.9
@@ שורה 39: / שורה 37: @@
 | 1.8
 | 1.7
-|<math>m =\frac {x^2-1}{x-1}</math>
+|<math>\ m =\frac {x^2-1}{x-1}</math>
  |}
 ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2).
-X משמאל :
+<math>\ x</math> משמאל :
 {| class="wikitable" border="1"
 | 1.1
@@ שורה 56: / שורה 54: @@
  |}
-שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2) כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''
+שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך <math>\ x</math> של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2) כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''
-===טבלה===
+==טבלה==
-אם נביט בטבלה, נוכל לראות שוב כי ככל שערכי ה-X מתקרבים לערך של אחד, כך, מגיעים אל ערך השיפוע המדויק יותר.
+אם נביט בטבלה, נוכל לראות שוב כי ככל שערכי ה-<math>\ X</math> מתקרבים לערך של אחד, כך, מגיעים אל ערך השיפוע המדויק יותר.
 <table cellpadding=5 border="1" align="center">
@@ שורה 74: / שורה 72: @@
 </table>
-==גבול (lim)==
+=גבול (lim)=
-התהליך ארוך; בנית טבלה, חישוב ערכים וניסיונות להגיע אל הנקודה הקרובה ביותר אל ערך X של נקודת ההשקה - ארוך ומתיש!<br />
+התהליך ארוך; בנית טבלה, חישוב ערכים וניסיונות להגיע אל הנקודה הקרובה ביותר אל ערך <math>\ X</math> של נקודת ההשקה - ארוך ומתיש!<br />
-חישוב המתבצע באמצעות lim מקצר את כל הדרך.
+חישוב המתבצע באמצעות <math>\ lim</math> מקצר את כל הדרך.
-'''החישוב מתבצע כך :''' <math>lim M</math> ופירוק לגורמים (m הוא השיפוע).
+'''החישוב מתבצע כך :''' <math>\ lim M</math> ופירוק לגורמים (m הוא השיפוע) :
+# הפונקציה <math>\ y=f(x)</math>
+#נקודת ההשקה <math>\ (x_0, f(x_0))</math>.
+# נקודה על הפונקציה : <math>\ (x,y)</math>,
+#נחשב את השיפוע בין שתי הנקודות: <math>\ m=\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}</math>.
+#<math>\ lim</math> - נבדוק מה קורה לביטוי כאשר <math>\ x</math> מתקרב מאוד ל-<math>\ x_0</math>.
-===דוגמא===
+==דוגמא==
-נמשיך בדוגמא לעיל. נחשב את ערך הנגזרת שלה באמצעות lim. על פי הנתונים :<math>lim\frac{x^2-1}{x-1}</math>
+נמשיך בדוגמא לעיל. נחשב את ערך הנגזרת שלה באמצעות <math>\ lim</math>. על פי הנתונים :<math>\ lim\frac{x^2-1}{x-1}</math>
 טענו כי אנו ''<span style="color: BLUE;">שואפים</span>'' שהנקודה השנייה (B), תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה (A). לכן, במקום לרשום את הערכים שקטנים וגדולים מ-X<sub>A</sub> (כפי שניתן בדוגמא למעלה), אנו אומרים כי X<sub>B</sub> שואף להיות X<sub>A</sub> (הנקודה הכי, הכי קרובה ל-X<sub>A</sub> - רוצה להיות שווה X<sub>A</sub>). נרשום זאת כך :
 <math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}</math>
-מעתה, אנו מתייחסים אל X<sub>B</sub> כשווה ל-X<sub>A</sub>.
+מעתה, אנו מתייחסים אל <math>x_B</math>כשווה ל-<math>x_A</math>.
 נפרק את הגבול לגורמים ונקבל :
 <math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1</math>
-כיוון שטענו כי Xa=Xb, נציב את X<sub>A</sub>=1 בגבול. <math>lim_{x\to 1}(x+1)=1+1=2</math>.
+כיוון שטענו כי <math>\ X_a=X_b</math>, נציב את <math>\ x_A=1</math> בגבול. <math>lim_{x\to 1}(x+1)=1+1=2</math>.
-מכאן, ששיפוע הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> הוא 2. בדיוק אותה מסקנה שגילנו בדרך הטבלאות.
+מכאן, ששיפוע הפונקציה <math>\ f(x)=x^2</math> הוא 2. בדיוק אותה מסקנה שגילנו בדרך הטבלאות.
-== שימוש בנוסחא שיפוע ==
-התהליך שביצענו לעיל הוא ארוך: בניית הטבלה וחישוב הערכים הרבים עלולים להתגלות כמתישים מאוד לאחר ביצועם מספר פעמים. יתר על כן, חסרונה של השיטה לעיל הוא שהיא פשוטה עבור פונקציות פשוטות, אך מורכבת עבור פונקציות מורכבות יותר. לכן, קיימת דרך חלופית:
-אם נתונה לנו פונקציה <math>\ y=f(x)</math> ואנו רוצים לגלות את הנגזרת שלה בנקודה מסוימת, נאמר <math>\ (x_0, f(x_0)</math>. נגדיר נקודת עזר (כמו בדוגמה לעיל): <math>\ (x,y)</math>, ונחשב את השיפוע בין שתי הנקודות: <math>\ m=\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}</math>. כעת, נבדוק מה קורה לביטוי הזה כאשר <math>\ x</math> מתקרב מאוד ל-<math>\ x_0</math>.
-נראה כיצד הדבר נעשה לגבי הדוגמה שלעיל: הפונקציה שלנו הייתה <math>\ y=x^2</math> והנקודה הייתה <math>\ (1,1)</math>. שיפוע הפונקציה יהא אם כן: <math>\ m=\frac{x^2-1}{x-1}</math>. כעת נשתמש בפירוק לגורמים (נוסחת הכפל המקוצר השלישית) ונקבל:
-<math>\ m=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1</math>
-אבל, אמרנו שהנקודה הולכת ומתקרבת ל-<math>\ (1,1)</math> ולכן <math>\ x</math> מתקרב מאוד ל-1. לכן ערך השיפוע יהיה: <math>\ m=x+1=1+1=2</math>, בדיוק כמו שקיבלנו באמצעות הטבלה.
 == נוסחאות גזירה ==
 ===פונקציה גזירה===
-את נוסחא ה'''גבול''' פיתחו וגילו "גזירות" (דרכים) דומות לפונקציות דומות. כיום, אנו מכירים דרכים שונים לגזירת נגזרות ללא צורך בנוסחאת ה-lim. לרשימה של פונקציות גזירה ראה נושא הבאה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
+את נוסחא ה'''גבול''' פיתחו וגילו "גזירות" (דרכים) דומות לפונקציות דומות. כיום, אנו מכירים דרכים שונים לגזירת נגזרות ללא צורך בנוסחאת ה-<math>\ lim</math>. לרשימה של פונקציות גזירה ראה נושא הבאה [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
 ===פונקציה חדשה===
 קיים מגוון רחב של פונקציות, אך, רובן הן שילוב של שתים, שלוש ויותר, פונקציות. כלומר, אם נחבר שתי פונקציות (נחבר ערכים של נקודות הפונקציה), נוכל לקבל פונקציה חדשה - פונקצית סכום.<br />
 במהלך הכרך נלמד למצוא נגזרת של "פנקציה חדשה" בקלות. גם נושא זה יכלל בערך [[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].