מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/משיק

כדאי לדעת: נרענן ונזכיר: מציאת שיפוע ישר: באמצעות נוסחא $m={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$ באמצעות מקדם m משוואת הישר: הנוסחא: $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ דרישות: שתי נקודות או נקודה ושיפוע

הקדמה - מושגי יסוד

# משיק לעקומה - הקו האדום
# נקודת ההשקה - הנקודה האדומה

נגזרת הפונקציה עוזרת לנו לגלות ולחקור את הפונקציה. אחד משימושיה הוא מציאת השיפוע של המשיק לגרף הפונקציה. תחילה נגדיר מושגים בסיסים:

1. משיק - ישר העובר דרך נקודה כלשהי על העקומה וכיוונו זהה לכיוון העקומה באותה נקודה. המשיק הינו קו ישר הנוגע ("נושק") לפונקציה בנקודה, אך לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר. שיפועו של המשיק בנקודה מסוימת נקרא נגזרת הפונקציה בנקודה.
2. נקודת ההשקה - הנקודה הנמצאת על גרף הפונקציה ודרכה עובר המשיק.

שיפוע המשיק (m)

שיפוע המשיק הוא נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה.

מכאן שיש לנו 3 גורמים המעורבים בנוסחא:

1. הפונקציה.
2. נקודת ההשקה - נזכיר: נקודת ההשקה היא נקודה על הפונקציה ועל המשיק (מקיימת את שתי המשוואות).
3. שיפוע המשיק = נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה.

דרך פעולה למציאת שיפוע המשיק:

1. מציאת נגזרת הפונקציה.
2. מציאת ערך $x$ של נקודת ההשקה - הצבת הנתון $y$ של נקודת ההשקה בפונקציה/משוואת הישר ומציאת ערך $x$ .
3. מציאת נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה: הצבת שיעור $x$ של נקודת ההשקה בנגזרת הפונקציה.

נקודת ההשקה חסרה - פונקציה ושיפוע משיק

שאלה

• נתונה הפונקציה: $y=x^{2}$
• שיפוע המשיק: $2x$
• מהי נקודת ההשקה?

פתרון

• נגזרת הפונקציה: $y'=2x$ .
• נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה: 2
• מציאת ערך $x$ של נקודת ההשקה (השוואה בין שתי נגזרות שוות למציאת נעלם): $2x=2$ . כלומר $x=1$
• מציאת ערך $y$ של נקודת ההשקה (הצבה בפונקציה) - נקודת ההשקה נמצאת על גרף הפונקציה ולכן היא חייבת לקיים את המשוואה : $y(1)=1^{2}=1$
• נקודת ההשקה: $(1,1)$

שיפוע משיק חסר - פונקציה ונקודת השקה

שאלה

• נתונה הפונקציה: $y=x^{2}$
• נקודת ההשקה היא: $(3,9)$
• מהו שיפוע המשיק?

פתרון

נמצא את שיפוע המשיק. ידוע כי שיפוע המשיק שווה לנגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה. מכאן:

• נגזרת הפונקציה: $y'=2x$
• נקודת ההשקה: $(3,9)$
• נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה = שיפוע המשיק: $y'(3)=2\cdot 3=6$

(שיפוע המשיק לפונקציה בנקודת ההשקה הנו 6. בכדי לגלות את שיפוע המשיק יש להציב את $x$ של נקודת ההשקה בנגזרת)

משוואת המשיק

כאמור המשיק הוא פונקציה ישרה, ולכן, ניתן לגלותו על-פי הנוסחא: $y-y_{1}=m(x-x_{1})$

משוואת ישר ע"פ 2 נקודות / נקודה ושיפוע

בניגוד לישר רגיל, קו הישר שלנו; המשיק, בעל קשר ישיר אל הפונקציה ולכן, הנתונים המוצבים בנוסחא יהיו בעלי קשר ישיר אל הפונקציה. כלומר, נוכל להעזר בנוסחא כאשר יש לנו 2 נקודות, אך לא סתם נקודות:

1. נקודת ההשקה - מקיימת את שתי המשוואות; ישר ופונקציה.
2. נקודה על הישר - מקיימת רק את משוואת הישר.

שמהן ניתן לגלות את שיפוע הישר (או נגזרת של הפונקציה בנקודת ההשקה).

דוגמא: שיפוע משיק חסר - מציאת משוואת המשיק על-פי נקודה שעל הגרף (דוגמא לעיל)

שאלה

• נתונה הפונקציה: $y=x^{2}$
• נקודת ההשקה: $(3,9)$
• מהי משוואת המשיק?

פתרון

גורמי משיק משיק:

• נקודה שנמצאת על הישר; על המשיק (נקודת ההשקה) : $(3,9)$
• שיפוע - נמצא את שיפוע המשיק. ידוע כי שיפוע המשיק שווה לנגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה. מכאן:
  • נגזרת הפונקציה: $y'=2x$
  • נקודת ההשקה: $(3,9)$
  • נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה: $y'=2\cdot 3=6$

שימוש בנוסחא: $y-y_{1}=m(x-x_{1})$

הצבה: $y-9=6(x-3)$

משוואת המשיק: $y=6x-9$

משוואת משיק בנקודה שאינה על גרף הפונקציה

נתונים:

1. פונקציה.
2. נקודה דרכה עובר המשיק.
3. צ"ל: משוואת המשיק.

פתרון

1. ביטוי נקודת ההשקה:
   • X של נקודת ההשקה = t
   • ביטוי Y - הצבה בפונקציה המקשרת בין X ו-Y.
2. מציאת נגזרת של הפונקציה בנקודת ההשקה :
   • מציאת נגזרת.
   • הצבת t בנגזרת.
3. ביטוי של משוואת המשיק באמצעות הנוסחא (y-y=m(x-x)
4. הצבת נקודה דרכה עובר המשיק - הנקודה צריכה לקיים את המשוואה כיוון שהישר עובר דרכה.
5. מציאת t.
6. הצבה :
   • מציאת נקודת ההשקה - אם צריך.
   • הצבה בביטוי משוואת הישר וגילוי המשוואה.

דוגמא

שאלה

• פונקציה : $y=2x^{2}+2$
• נקודת ההשקה : לא נתון.
• נקודה על הישר : (3,6).
• מהי משוואת המשיק?

פתרון

שלב א' - סימון

על הפונקציה קיימות הרבה נקודות שניתן לסמן בסימון : (x,y).
בכדי לא להתבלבל בין X נקודת ההשקה, לבין נקודה אחרת הנמצאת על הפונקציה, נסמן את X של נקודת ההשקה באות t. כלומר : X של נקודת ההשקה = t.

שלב ב' - מציאת נקודת ההשקה

נגלה את היחס בין X ו-Y של נקודת ההשקה.

• x=t
• $y=2t^{2}+2$
• נקודת ההשקה היא : (t,2t²+2).

שלב ג' - שיפוע

• הנגזרת של הפונקציה : $y=2x^{2}+2$ היא 4x.
• הנגזרת של הפונקציה בנקודת ההשקה היא : y(t)'=4t

שלב ד' - משוואת המשיק

1. נקודת ההשקה : (t,2t²+2).
2. הנגזרת של הפונקציה בנקודת ההשקה היא : y(t)'=4t.

הצבה בנוסחא : $y-(2t^{2}+2)=4t(x-t)$
פיתוח : $y=4tx-4t^{2}+2t^{2}+2=4tx-2t^{2}+2$

שלב ה' - מציאת הפרמטר (הנעלם t)

1. הנקודה (3,6) נמצאת על הישר $y=4tx-2t^{2}+2$, ולכן, היא צריכה לקיים את המשוואה.
2. כלומר, נציב את ערכי X ו-Y של ההנקודה במשוואה : $6=12t-2t^{2}+2$
3. נעביר את המספרים לאגף שמאל ונקבל : $2t^{2}-12t+4=0$
4. נחלק ב-2 : $t^{2}-6t+2$
5. נפתור משוואה ריבועית
6. נקבל שני ערכי t, שהם למעשה ערכי X של נקודות ההשקה.
7. נמצא את ערכי נקודת ההשקה ע"י הצבת הפתרון שהתקבל ב-t של נקודת ההשקה.
8. עתה יש לנו 2 נקודות השקה אפשריות לפונקציה. מהן נוכל להרכיב 2 משיקים אפשרים לפונקציה.