יהי שדה, ויהי פולינום סימטרי.
אזי ניתן להציגו באופן יחיד כפולינום , כאשר:
- מעלת אינה עולה על מעלת .
- אם בעל מקדמים שלמים אזי גם בעל מקדמים שלמים.
ראשית, נתאר אלגוריתם למציאת הפולינום המבוקש .
נגדיר תנאי התחלה וכן .
- מצאו את כאשר .
- הגדירו .
- הציבו .
- אם , שובו לסעיף 1 והתחילו את התהליך מחדש באינדקס .
אם , עברו לסעיף 5.
- הציבו .
להוכחת האלגוריתם אנו זקוקים לשתי למות.
למה 1: המונום המוביל ב־ מקיים .
הוכחה: נניח בשלילה כי קיים אינדקס עבורו . קיימת תמורה כלשהיא עבורה
אך הפולינום מכיל את המונום , שסדרו גדול מזה של .
סתירה.
למה 2: המונום המוביל בפיתוחו של הפולינום הוא .
הוכחה: מתקיים כי
השוויון האחרון מתקיים אם ורק אם
עתה ניגש להוכחת המשפט:
1. יהי פולינום סימטרי במשתנים .
ההוכחה באינדוקציה שלמה על (ראו הגדרה).
אם אזי פולינום קבוע, וקל להראות כי האלגוריתם מתקיים עבורו.
נניח כי האלגוריתם מתקיים לכל הפולינומים הסימטריים בעלי , עבור כלשהוא.
נראה כי האלגוריתם מתקיים גם עבור פולינום סימטרי בעל , כאשר .
על־פי למה 2, מתקיים כי:
הפונקציה היא פולינום, שכן .
בנוסף, על־פי תכונות הפולינומים הסימטריים פולינום סימטרי במשתנים , ולכן גם פולינום סימטרי.
הפולינומים מכילים שניהם את , ולכן הוא מתקזז בהפרשם.
אם אזי .
אם אזי , כלומר .
הנחת האינדוקציה מתקיימת עבור , ועל כן האלגוריתם מניב פולינום עבורו
2. תכונות המשפט מתקיימות:
- על־פי ההגדרה, מעלת היא ומעלת היא לפחות .
- אם בעל מקדמים שלמים אזי הנ"ל מספר שלם. לכן גם בעל מקדמים שלמים.
משפט. יהי שדה, ויהי פולינום ממעלה בעל השורשים .
יהי פולינום סימטרי. אזי .
הוכחה. על־פי נוסחאות ויאטה מתקיים כי:
על־פי המשפט היסודי, ניתן להצגה כפולינום
משפט. יהי שדה, ויהי פולינום ממעלה בעל השורשים .
יהי כלשהוא, ויהיו סכומי כל מבין השורשים (כלומר ).
אזי קיים פולינום מתוקן ממעלה בעל השורשים .
הוכחה. עלינו להראות כי מתקיים
על־פי נוסחאות ויאטה, מקדמי הפולינום כולם פולינומים סימטריים לפי .
יהי פולינום סימטרי, ויהיו סכומי כל מבין המשתנים .
אזי ניתן להצגה כפולינום
קל לראות כי בהפעלת תמורה על מתקיימת גם תמורה על .
לכן פולינום סימטרי, ועל־פי המשפט הקודם מתקיים כי