לדלג לתוכן

הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/פולינומים סימטריים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

הגדרה 1

[עריכה]

תמורה היא פונקציה חד־חד־ערכית ועל מקבוצה לעצמה.

תהי קבוצה סופית . הפונקציה תיקרא תמורה אם ורק אם היא חד־חד־ערכית ועל.

כלומר, לכל קיים יחיד עבורו .

קבוצת כל התמורות של אברי מסומנת .

דוגמא

[עריכה]

עבור קיימות תמורות שונות:


באופן כללי, אם אזי .

הגדרה 2

[עריכה]

יהי פולינום. נגדיר:

תכונות

[עריכה]

יהיו פולינומים. אזי מתקיים:

  • כאשר .

הוכחה

[עריכה]
  • מן ההגדרה, התמורה פועלת על אינדקסי המשתנים בלבד.
  • ראשית, נניח כי מונומים מהצורה
נכליל באינדוקציה לגבי , כאשר מונומים.
  • כנ"ל, נניח כי מונומים מהצורה
כנ"ל, נכליל באינדוקציה לגבי , כאשר מונומים:
  • מן ההגדרה נקבל:

הגדרה 3

[עריכה]

יהי פולינום. אזי הוא נקרא פולינום סימטרי אם מתקיים

לכל תמורה .

דוגמאות

[עריכה]
  • פולינום סימטרי:
  • פולינום אי־סימטרי:

תכונות

[עריכה]
  • סכום, הפרש ומכפלת פולינומים סימטריים הוא פולינום סימטרי.
  • יהי פולינום במשתנים , ויהיו פולינומים סימטריים במשתנים .
אזי גם סימטרית במשתנים .

הוכחה

[עריכה]
  • נובע מן התכונות בהגדרה 2 ומהגדרת הפולינום הסימטרי לעיל.
  • מן ההגדרה מתקיים:


הפרק הקודם:
סידור מונומי
פולינומים סימטריים
תרגילים
הפרק הבא:
פולינומים סימטריים אלמנטריים