תהי
n־יה סדורה. נגדיר:
![{\displaystyle {\vec {A}}{}^{n}=(A_{1},\ldots ,A_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a15ad6c872bc9fc6976f2d40412efb4ec42f45)
עבור פונקציות
נגדיר:
![{\displaystyle {\vec {F}}{}^{m}({\vec {G}}{}^{n})={\bigl (}F_{1}(G_{1},\ldots ,G_{n}),\ldots ,F_{m}(G_{1},\ldots ,G_{n}){\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb436ab4fd398b7fcc3eec99fba6bc03d25eed8)
סימון מקוצר זה ישמש אותנו רבות בעמודים הבאים ובהוכחה.
יהי
שדה. אזי
הוא מרחב הפולינומים במשתנים
עם מקדמים ב־
.
מונום (חד־אבר) הוא פולינום מן הצורה
, כאשר
וכן
.
יהי
, ויהי
וקטור מעריכים. נגדיר:
![{\displaystyle X^{a}=X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a318c8e885b5f7accced82a963583323ec6ab2df)
![{\displaystyle \deg(X^{a})=a_{1}\!+\cdots +a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d55afa7c770497dcc0189337b47f6ce4fc75fe4)
- מעלת פולינום (שאינו פולינום האפס) שוה למקסימלית מבין מעלות המונומים המרכיבים אותו.
מכפלת מונומים מקיימת חיבור וקטורי מעריכים:
![{\displaystyle {\begin{aligned}X^{a}\!\cdot X^{b}&=(X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}})\cdot (X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}})\\[5pt]&=(X_{1}^{a_{1}}\!\cdot X_{1}^{b_{1}})\cdots (X_{n}^{a_{n}}\!\cdot X_{n}^{b_{n}})\\[5pt]&=X_{1}^{a_{1}+b_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}+b_{n}}\\[5pt]&=X^{a+b}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad921bca0fe23a34d9e5fa22d6c17df8443b215)
יהיו
מונומים.
נאמר כי
בעל סדר קטן מ־
(ונסמן
) אם קיים אינדקס
עבורו מתקיים
![{\displaystyle {\begin{cases}a_{i}=b_{i}&:\!1\leq i\leq k-1\\[3pt]a_{i}<b_{i}&:i=k\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa68ace087542c5f84118597dc26faa12a5235c)
במלים אחרות, בין שני הוקטורים
קיים יחס סדר מילוני.
למונום בעל בעל הסדר המקסימלי בפולינום
נקרא המונום המוביל, ונסמנו
.
![{\displaystyle x_{1}^{7}x_{2}^{3}x_{3}^{10}\!\prec x_{1}^{7}x_{2}^{31}x_{3}\iff (7,3,10)\prec (7,31,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae4f55245569f0b98db221ca9f297f0de8167d4)
יהיו
פולינומים. אזי מתקיים
.
יהיו
מונומים, כאשר
.
1. נניח כי
. נראה כי מתקיים
לכל
.
מן ההגדרה, קיים אינדקס
עבורו מתקיים
![{\displaystyle {\begin{cases}a_{i}(+\,c_{i})=f_{i}(+\,c_{i})&:\!1\leq i\leq k-1\\[3pt]a_{i}(+\,c_{i})<f_{i}(+\,c_{i})&:i=k\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7725cf5e89e7c66f4b36ae0a1949ff0d9261a52)
2. נניח כי גם
. נראה כי מתקיים
.
מן ההגדרה, קיימים אינדקסים
עבורם מתקיים בהתאמה
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{cases}a_{i}=f_{i}&:\!1\leq i\leq k_{1}-1\\[3pt]a_{i}<f_{i}&:i=k_{1}\end{cases}},\quad {\begin{cases}b_{i}=g_{i}&:\!1\leq i\leq k_{2}-1\\[3pt]b_{i}<g_{i}&:i=k_{2}\end{cases}}\\[8pt]&{\begin{cases}1\leq k_{1}\leq k_{2}\leq n\!:&(a_{k_{1}}\!<f_{k_{1}}\!)\land (b_{k_{1}}\!\leq g_{k_{1}}\!)\,\implies \,a_{k_{1}}\!+b_{k_{1}}\!<f_{k_{1}}\!+g_{k_{1}}\\[5pt]1\leq k_{2}<k_{1}\leq n\!:&(a_{k_{2}}\!=f_{k_{2}}\!)\land (b_{k_{2}}\!<g_{k_{2}}\!)\,\implies \,a_{k_{2}}\!+b_{k_{2}}\!<f_{k_{2}}\!+g_{k_{2}}\end{cases}}\!{\Bigg \}}\,\implies \,X^{a+b}\!\prec X^{f+g}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0926c0bc3554990762aac6861a395113e85e6b7)
כלומר:
![{\displaystyle {\text{L}}(F\cdot G)=X^{f+g}=X^{f}\cdot X^{g}={\text{L}}(F)\cdot {\text{L}}(G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb23ef93b37d56cf91152a4a396206c8dbba9f77)
יהי
פולינום. נגדיר:
![{\displaystyle {\text{D}}(F)={\Big \{}X^{a}\!\in \mathbb {F} [{\vec {X}}{}^{n}]:\deg(X^{a})\leq \deg({\text{L}}(F)),X^{a}\!\prec {\text{L}}(F){\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2d3d076153e48f965b8d53e6c1d7a831e2c6452)
כלומר, קבוצת כל המונומים המתוקנים ממעלה
ובעלי סדר קטן מזה של
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&F(x_{1},x_{2})=4+3x_{1}+2x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{4}\\[3pt]&{\text{L}}(F)=2x_{1}^{2}x_{2}\\[3pt]&{\text{D}}(F)={\Big \{}x_{1}x_{2}^{2},x_{1}^{2},x_{1}x_{2},x_{2}^{2},x_{1},x_{2},1{\Big \}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aeb78fe434be63011d95b6548bf3b19002cfd63)