הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/סידור מונומי

הגדרה 1

תהי $(A_{1},\ldots ,A_{n})$ n־יה סדורה. נגדיר:

${\vec {A}}{}^{n}=(A_{1},\ldots ,A_{n})$

עבור פונקציות ${\vec {F}}{}^{m},{\vec {G}}{}^{n}$ נגדיר:

${\vec {F}}{}^{m}({\vec {G}}{}^{n})={\bigl (}F_{1}(G_{1},\ldots ,G_{n}),\ldots ,F_{m}(G_{1},\ldots ,G_{n}){\bigr )}$

סימון מקוצר זה ישמש אותנו רבות בעמודים הבאים ובהוכחה.

הגדרה 2

יהי $\mathbb {F}$ שדה. אזי $\mathbb {F} [{\vec {X}}{}^{n}]$ הוא מרחב הפולינומים במשתנים $X_{1},\ldots ,X_{n}$ עם מקדמים ב־$\mathbb {F}$.

מונום (חד־אבר) הוא פולינום מן הצורה $c\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}$, כאשר $c\in \mathbb {F}$ וכן $a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {N}$.

הגדרה 3

יהי $X=X_{1}\!\cdots X_{n}$, ויהי $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ וקטור מעריכים. נגדיר:

• $X^{a}=X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}$
• $\deg(X^{a})=a_{1}\!+\cdots +a_{n}$
• מעלת פולינום (שאינו פולינום האפס) שוה למקסימלית מבין מעלות המונומים המרכיבים אותו.

תכונות

מכפלת מונומים מקיימת חיבור וקטורי מעריכים:

${\begin{aligned}X^{a}\!\cdot X^{b}&=(X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}})\cdot (X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}})\\[5pt]&=(X_{1}^{a_{1}}\!\cdot X_{1}^{b_{1}})\cdots (X_{n}^{a_{n}}\!\cdot X_{n}^{b_{n}})\\[5pt]&=X_{1}^{a_{1}+b_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}+b_{n}}\\[5pt]&=X^{a+b}\end{aligned}}$

הגדרה 4

יהיו $X^{a},X^{b}$ מונומים.

נאמר כי $X^{a}$ בעל סדר קטן מ־$X^{b}$ (ונסמן $X^{a}\!\prec X^{b}$) אם קיים אינדקס $1\leq k\leq n$ עבורו מתקיים

${\begin{cases}a_{i}=b_{i}&:\!1\leq i\leq k-1\\[3pt]a_{i}<b_{i}&:i=k\end{cases}}$

במלים אחרות, בין שני הוקטורים $(a_{1},\ldots ,a_{n}),(b_{1},\ldots ,b_{n})$ קיים יחס סדר מילוני.

למונום בעל בעל הסדר המקסימלי בפולינום $F$ נקרא המונום המוביל, ונסמנו ${\text{L}}(F)$.

דוגמא

$x_{1}^{7}x_{2}^{3}x_{3}^{10}\!\prec x_{1}^{7}x_{2}^{31}x_{3}\iff (7,3,10)\prec (7,31,1)$

למה

יהיו $F,G\in \mathbb {F} [{\vec {X}}{}^{n}]$ פולינומים. אזי מתקיים ${\text{L}}(F\cdot G)={\text{L}}(F)\cdot {\text{L}}(G)$.

הוכחה

יהיו $X^{a},X^{b},X^{f},X^{g}$ מונומים, כאשר $X^{f}={\text{L}}(F),\,X^{g}={\text{L}}(G)$.

1. נניח כי $X^{a}\!\prec X^{f}$. נראה כי מתקיים $X^{a+c}\!\prec X^{f+c}$ לכל $X^{c}$.
מן ההגדרה, קיים אינדקס $1\leq k\leq n$ עבורו מתקיים

${\begin{cases}a_{i}(+\,c_{i})=f_{i}(+\,c_{i})&:\!1\leq i\leq k-1\\[3pt]a_{i}(+\,c_{i})<f_{i}(+\,c_{i})&:i=k\end{cases}}$

2. נניח כי גם $X^{b}\prec X^{g}$. נראה כי מתקיים $X^{a+b}\!\prec X^{f+g}$.
מן ההגדרה, קיימים אינדקסים $k_{1},k_{2}\in \{1,\ldots ,n\}$ עבורם מתקיים בהתאמה

${\begin{aligned}&{\begin{cases}a_{i}=f_{i}&:\!1\leq i\leq k_{1}-1\\[3pt]a_{i}<f_{i}&:i=k_{1}\end{cases}},\quad {\begin{cases}b_{i}=g_{i}&:\!1\leq i\leq k_{2}-1\\[3pt]b_{i}<g_{i}&:i=k_{2}\end{cases}}\\[8pt]&{\begin{cases}1\leq k_{1}\leq k_{2}\leq n\!:&(a_{k_{1}}\!<f_{k_{1}}\!)\land (b_{k_{1}}\!\leq g_{k_{1}}\!)\,\implies \,a_{k_{1}}\!+b_{k_{1}}\!<f_{k_{1}}\!+g_{k_{1}}\\[5pt]1\leq k_{2}<k_{1}\leq n\!:&(a_{k_{2}}\!=f_{k_{2}}\!)\land (b_{k_{2}}\!<g_{k_{2}}\!)\,\implies \,a_{k_{2}}\!+b_{k_{2}}\!<f_{k_{2}}\!+g_{k_{2}}\end{cases}}\!{\Bigg \}}\,\implies \,X^{a+b}\!\prec X^{f+g}\end{aligned}}$

כלומר:

${\text{L}}(F\cdot G)=X^{f+g}=X^{f}\cdot X^{g}={\text{L}}(F)\cdot {\text{L}}(G)$

$\square$

הגדרה 5

יהי $F\in \mathbb {F} [{\vec {X}}{}^{n}]$ פולינום. נגדיר:

${\text{D}}(F)={\Big \{}X^{a}\!\in \mathbb {F} [{\vec {X}}{}^{n}]:\deg(X^{a})\leq \deg({\text{L}}(F)),X^{a}\!\prec {\text{L}}(F){\Big \}}$

כלומר, קבוצת כל המונומים המתוקנים ממעלה $\deg({\text{L}}(F))\geq$ ובעלי סדר קטן מזה של ${\text{L}}(F)$.

דוגמא

${\begin{aligned}&F(x_{1},x_{2})=4+3x_{1}+2x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{4}\\[3pt]&{\text{L}}(F)=2x_{1}^{2}x_{2}\\[3pt]&{\text{D}}(F)={\Big \{}x_{1}x_{2}^{2},x_{1}^{2},x_{1}x_{2},x_{2}^{2},x_{1},x_{2},1{\Big \}}\end{aligned}}$

הפרק הקודם: הקדמה

סידור מונומי תרגילים

הפרק הבא: פולינומים סימטריים