הקבוע המתמטי
הוא מספר טרנסצנדנטי (או אי־אלגברי). כלומר אינו שורש של אף פולינום במקדמים רציונליים.
נניח בשלילה כי
אלגברי, כלומר קיים פולינום
![{\displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{d}z^{d}\in \mathbb {Q} [z],\quad (a_{0}\neq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff89530e7782aa30a7b4ccd5cffb97c7f7cbc9dc)
עבורו
.
למה: אם
אלגברי, אזי
אלגברי.
הוכחה: מתקיים כי
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(\pm iz)&=a_{0}+a_{1}(\pm iz)+a_{2}(\pm iz)^{2}+\cdots +a_{d}(\pm iz)^{d}\\[5pt]&=(a_{0}-a_{2}z^{2}+\cdots \,)\pm (a_{1}z-a_{3}z^{3}+\cdots \,)\,i\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34c8f2c646bbd6082bd7deff29bd057969fddf55)
לכן
שורש של הפולינום
![{\displaystyle P(iz)P(-iz)=(a_{0}-a_{2}z^{2}+\cdots \,)^{2}+(a_{1}z-a_{3}z^{3}+\cdots \,)^{2}\in \mathbb {Q} [z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bac4a1d308719ec27a8a12cc682673e4afe23f)
לפיכך, קיים פולינום
ממעלה
בעל השורשים
, כאשר
.
על־פי זהות אוילר מתקיים כי
. לכן:
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=({\text{e}}^{z_{1}}\!+1)({\text{e}}^{z_{2}}\!+1)\cdots ({\text{e}}^{z_{n}}\!+1)\\[3pt]&=\sum _{i\,=\,1}^{n}{\text{e}}^{z_{i}}+\!\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\!\!\!\!\!{\text{e}}^{z_{i_{1}}}{\text{e}}^{z_{i_{2}}}+\!\!\!\!\!\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<i_{3}\leq n}\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{e}}^{z_{i_{1}}}{\text{e}}^{z_{i_{2}}}{\text{e}}^{z_{i_{3}}}\!+\cdots +\!\!\!\!\!\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{n}\leq n}\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{e}}^{z_{i_{1}}}\!\cdots {\text{e}}^{z_{i_{n}}}\!+1\\[3pt]&=\sum _{i\,=\,1}^{n}{\text{e}}^{z_{i}}+\!\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\!\!\!\!\!{\text{e}}^{z_{i_{1}}+\,z_{i_{2}}}+\!\!\!\!\!\!\!\!\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<i_{3}\leq n}\!\!\!\!\!\!\!\!{\text{e}}^{z_{i_{1}}+\,z_{i_{2}}+\,z_{i_{3}}}\!+\cdots +{\text{e}}^{z_{1}+\,\cdots \,+\,z_{n}}\!+{\text{e}}^{0}\\[3pt]&=\sum _{i\,=\,1}^{2^{n}}{\text{e}}^{\beta _{i}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc54c09520f8405e96f5e10b955b992f45504264)
המעריכים הם פולינומים סימטריים לפי
, ומביניהם
סכומים שונים מ־0. כלומר:
![{\displaystyle {\text{e}}^{\beta _{1}}\!+{\text{e}}^{\beta _{2}}\!+\cdots +{\text{e}}^{\beta _{m}}\!+2^{n}\!-m=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f121acd95ab37e5e95472a803aa4e9a06966e4)
כפי שלמדנו, לכל
קיים פולינום מתוקן
ממעלה
אשר שורשיו הם סכומי כל
מבין השורשים
. לפיכך:
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q(z)&=P_{0}(z)\,P_{1}(z)\cdots P_{n}(z)\in \mathbb {Q} [z]\\[5pt]&=(z-\beta _{1})(z-\beta _{2})\cdots (z-\beta _{m})\cdots (z-\beta _{2^{n}})\\[5pt]&=z^{2^{n}-\,m}(z-\beta _{1})(z-\beta _{2})\cdots (z-\beta _{m})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aaeb5cfabc52e0714447384e6d8f6572ee3aabd)
לאחר צמצום נקבל כי:
![{\displaystyle (z-\beta _{1})(z-\beta _{2})\cdots (z-\beta _{m})\in \mathbb {Q} [z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc30207560d8c005a5a36375bd5f66448d0d203c)
נכפיל במכנה המשותף המינימלי
של המקדמים הרציונליים, ונקבל פולינום מהצורה
![{\displaystyle {\begin{aligned}B(z)&=b_{m}(z-\beta _{1})(z-\beta _{2})\cdots (z-\beta _{m})\\[5pt]&=b_{m}z^{m}+b_{m-1}z^{m-1}+\cdots +b_{1}z+b_{0}\in \mathbb {Z} [z]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db3f5aaef8539151a09eb358878c9f03d228b93)
יהי
פולינום ממעלה
. נגדיר
. נגזור ונקבל כי:
![{\displaystyle F'\!(z)=\sum _{j\,=\,0}^{d}f^{(j+1)}\!(z)=\sum _{j\,=\,1}^{d}f^{(j)}\!(z)=F(z)-f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18dee0a837938f70df0a37fa9bda1ddf0faadb2f)
נגדיר
. נגזור ונקבל כי:
![{\displaystyle G'\!(z)={\text{e}}^{-z}F'\!(z)-{\text{e}}^{-z}F(z)={\text{e}}^{-z}{\bigl [}F'\!(z)-F(z){\bigr ]}=-{\text{e}}^{-z}f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0c091271f23221b439e0bd828a493630db614e)
על־פי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, מתקיים כי:
![{\displaystyle {\begin{aligned}G(z)-G(0)={\text{e}}^{-z}F(z)-{\text{e}}^{-0}F(0)&=-\!\int \limits _{0}^{z}{\text{e}}^{-w}f(w)dw\\F(z)-{\text{e}}^{z}F(0)&=-\!\int \limits _{0}^{z}{\text{e}}^{z-w}f(w)dw\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31fb83a7e548a5dfdea2975911fdfef0df42626)
נסמן:
![{\displaystyle F(\beta _{i})-{\text{e}}^{\beta _{i}}F(0)=-\!\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\text{e}}^{\beta _{i}-w}f(w)dw=A_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46e01af8c44908d4f74fa72ee08b5925ba63f42)
נסכום ונקבל כי:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i\,=\,1}^{m}F(\beta _{i})-\sum _{i\,=\,1}^{m}{\text{e}}^{\beta _{i}}F(0)=\sum _{i\,=\,1}^{m}A_{i}\\[5pt]\sum _{i\,=\,1}^{m}F(\beta _{i})-F(0)\sum _{i\,=\,1}^{m}{\text{e}}^{\beta _{i}}=\sum _{i\,=\,1}^{m}A_{i}\\[5pt](2^{n}\!-m)F(0)+\sum _{i\,=\,1}^{m}F(\beta _{i})=\sum _{i\,=\,1}^{m}A_{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc950f2267c807c94eb55c07eb8a139fe4d9e19)
למה: יהי
פולינום בעל שורש
מריבוי
. אזי
לכל
.
הוכחה: באינדוקציה שלמה.
נרשום
, כאשר
פולינום עבורו
.
עבור
מתקיים:
![{\displaystyle f^{(0)}\!(z_{0})=f(z_{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570c2483eb8da6838af7207db3a3895d4f41c27d)
נניח כי לכל
הטענה מתקיימת לכל
.
נוכיח כי עבור
הטענה מתקיימת לכל
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=(z-z_{0})^{k+1}Q(z)\\[5pt]f^{(1)}\!(z)&=(k+1)(z-z_{0})^{k}Q(z)+(z-z_{0})^{k+1}Q^{(1)}\!(z)\\[5pt]&={\color {blue}(z-z_{0})^{k}}{\color {red}{\bigl [}(k+1)Q(z)+(z-z_{0})Q^{(1)}\!(z){\bigr ]}}\\[5pt]&={\color {blue}(z-z_{0})^{k}}{\color {red}R(z)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc70fabb3477d5ddd7b0e5ac82177d364049d396)
הביטוי הכחול מריבוי
, כאשר
פולינום עבורו
.
לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה.
עתה נגדיר:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&=(b_{m})^{c}g(z),\quad (c=mp-1)\\[5pt]g(z)&={\frac {1}{(p-1)!}}\,z^{p-1}{\bigl [}B(z){\bigr ]}^{p}\\[5pt]&={\frac {(b_{0})^{p}}{(p-1)!}}z^{p-1}+\sum _{k\,=\,p}^{p\,+\,c}{\frac {d_{k}}{(p-1)!}}z^{k},\quad (d_{k}\in \mathbb {Z} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511c6913b5d0ad65f931b559da281a499be7991c)
כאשר
מספר ראשוני המקיים
. מתקיים כי:
![{\displaystyle f^{(j)}\!(z)=(b_{m})^{c}g^{(j)}\!(z)=(b_{m})^{c}\sum _{k\,=\,j}^{p\,+\,c}{\frac {j!}{(p-1)!}}{\binom {k}{j}}d_{k}z^{k-j},\quad (0\leq j\leq p+c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635ade83e075deccd6baaf22b573211b876d5e8c)
לכן לכל
הפונקציה
היא פולינום במקדמים שלמים המתחלקים כולם ב־
.
לפי חלקים א ו־ג, מתקיים כי:
![{\displaystyle {\begin{aligned}N&=(2^{n}\!-m)F(0)+\sum _{i\,=\,1}^{m}F(\beta _{i})\\[2pt]&=(2^{n}\!-m)\sum _{j\,=\,0}^{p\,+\,c}f^{(j)}\!(0)+\sum _{i\,=\,1}^{m}\sum _{j\,=\,0}^{p\,+\,c}f^{(j)}\!(\beta _{i})\\[2pt]&=(2^{n}\!-m)\!\!\sum _{j\,=\,p-1}^{p\,+\,c}\!\!\!f^{(j)}\!(0)+\sum _{i\,=\,1}^{m}\sum _{j\,=\,p}^{p\,+\,c}f^{(j)}\!(\beta _{i})\\[2pt]&=(2^{n}\!-m)\,{\bigg [}\,f^{(p-1)}\!(0)+\sum _{j\,=\,p}^{p\,+\,c}f^{(j)}\!(0)\,{\bigg ]}+\sum _{j\,=\,p}^{p\,+\,c}\sum _{i\,=\,1}^{m}f^{(j)}\!(\beta _{i})\\[2pt]&={\color {red}(2^{n}\!-m)(b_{0})^{p}(b_{m})^{c}}\!+{\color {green}(2^{n}\!-m)\sum _{j\,=\,p}^{p\,+\,c}f^{(j)}\!(0)}+{\color {blue}(b_{m})^{c}\sum _{j\,=\,p}^{p\,+\,c}\sum _{i\,=\,1}^{m}g^{(j)}\!(\beta _{i})}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8b641b7724f3f5584660edb1dd6a401cd40dbf)
הביטוי האדום הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב־
.
הביטוי הירוק הוא מספר שלם המתחלק ב־
.
הביטוי הכחול הוא החלק החשוב ביותר:
על־פי נוסחאות ויאטה מתקיים כי
![{\displaystyle E_{k}({\vec {\beta }}{}^{m})=(-1)^{k}{\frac {b_{m-k}}{b_{m}}}\in \mathbb {Q} ,\quad (1\leq k\leq m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9095867f2510dedc95d4ad90caae3caba4c2271a)
והסכומים הם פולינומים סימטריים לפי
. לכן אלה ניתנים להצגה כפולינומים
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i\,=\,1}^{m}g^{(j)}\!(\beta _{i})&=G_{j}({\vec {E}}{}^{m}({\vec {\beta }}{}^{m}))\in \mathbb {F} [{\vec {\beta }}{}^{m}]\\&={\frac {a_{j}}{(b_{m})^{c_{j}}}},\quad (a_{j},c_{j}\in \mathbb {Z} ,\,c_{j}\geq 0)\\[2pt]{\color {blue}(b_{m})^{c}\sum _{j\,=\,p}^{p\,+\,c}\sum _{i\,=\,1}^{m}g^{(j)}\!(\beta _{i})}&=(b_{m})^{c}\sum _{j\,=\,p}^{p\,+\,c}{\frac {a_{j}}{(b_{m})^{c_{j}}}}=\sum _{j\,=\,p}^{p\,+\,c}a_{j}(b_{m})^{c-c_{j}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fca2e40f4a716bf8df60e17e579600822ebe61)
ובנוסף מתקיים:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\deg(g^{(j)})\leq c&\implies \deg(G_{j})\leq c,\quad (p\leq j\leq p+c)\\[3pt]&\implies 0\leq c_{j}\leq c\\[3pt]&\implies (b_{m})^{c-c_{j}}\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f96febdd832b75f694dcc3d2374528688b22bb)
לכן הביטוי הכחול גם הוא מספר שלם המתחלק ב־
.
מסקנה:
הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב־
, ובפרט
.
לפי חלק ב, מתקיים כי:
![{\displaystyle A_{i}=-\!\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\text{e}}^{\beta _{i}-w}f(w)dw}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b30d16a418a91cd69929021f75f4969c0ef575cf)
על־פי אי־שוויון המשולש האינטגרלי מתקיים כי:
![{\displaystyle {\begin{aligned}|A_{i}|&={\Bigg |}\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\text{e}}^{\beta _{i}-w}f(w)dw\,{\Bigg |}\\[2pt]&\leq \int \limits _{0}^{\beta _{i}}\,{\bigl |}{\text{e}}^{\beta _{i}-w}{\bigr |}\,{\bigr |}f(w){\bigl |}\,|dw|\\[2pt]&=\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\bigl |}{\text{e}}^{\beta _{i}-w}{\bigr |}\left|{\frac {(b_{m})^{c}}{(p-1)!}}\,w^{p-1}{\bigl [}B(w){\bigr ]}^{p}\right||dw|\\[2pt]&=\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\frac {{\bigl |}{\text{e}}^{\beta _{i}-w}{\bigr |}}{|b_{m}|}}\,{\frac {|b_{m}|^{mp}|w|^{p-1}|B(w)|^{p}}{(p-1)!}}\,|dw|\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fcb69ac91de7c0b2ade1e27e41242b2081097d)
על־פי אי־שוויון המשולש מתקיים כי:
![{\displaystyle 0<|N|=\left|\,\sum _{i\,=\,1}^{m}A_{i}\right|\leq \sum _{i\,=\,1}^{m}|A_{i}|\leq \sum _{i\,=\,1}^{m}\,\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\frac {{\bigl |}{\text{e}}^{\beta _{i}-w}{\bigr |}}{|b_{m}|}}\,{\frac {|b_{m}|^{mp}|w|^{p-1}|B(w)|^{p}}{(p-1)!}}\,|dw|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c24f2c3016556a8496eaa38fc6f7689e3a1bc75)
אך לעומת זאת מתקיים כי
![{\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {|b_{m}|^{mp}|w|^{p-1}|B(w)|^{p}}{(p-1)!}}=0,\quad (w\in \mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae157fdb6c9a3ed5ce13e352c143c7d312d4265)
כלומר עבור
גדול מספיק מתקיים
. סתירה.
מסקנה:
טרנסצנדנטי, ולכן
טרנסצנדנטי.