הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן אבל

משפט

תהי $a_{n}$ סדרה מונוטונית וחסומה, ויהי $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ טור מתכנס. אזי הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ מתכנס.

הוכחה

נסמן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ כי הסדרה הנ"ל מתכנסת. אז הסדרה $\{a_{n}-a\}_{n=1}^{\infty }$ מונוטונית ושואפת ל־0.

הטור $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנס, לכן בפרט סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה, כלומר קיים $M>0$ כך שלכל $N\in \mathbb {N}$ מתקיים $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|<M$ .

הסדרה ${\big \{}a_{n}-a{\big \}}_{n=1}^{\infty }$ והטור $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מקיימים את תנאי מבחן דיריכלה, לכן הטור $\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-a)b_{n}$ מתכנס.

ידוע לנו כעת שהטורים $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n},\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-a)b_{n}$ מתכנסים, לכן מכללי אריתמטיקה של טורים נובע שגם מכפלתם בקבוע (למשל $a$) וכן סכומם מתכנסים. אבל:

$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\Big [}(a_{n}-a)b_{n}+a\!\cdot \!b_{n}{\Big ]}=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-a)b_{n}+a\!\cdot \!\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$$

$\blacksquare$