הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/התכנסות סדרה גוררת חסימות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט

אם סדרה מתכנסת לגבול סופי, אז הסדרה חסומה.

הוכחה

נסמן .

מכאן לפי הגדרת הגבול קיים כך שלכל מתקיים

עבור כלשהו.

קבוצת אברי הסדרה המקיימים היא קבוצה סופית של מספרים ממשיים ולכן חסומה. נסמן ב- חסם כלשהו שלה, כלומר:

קבוצת אברי הסדרה כולה היא איחוד הקבוצה הראשונה והשניה, לכן היא חסומה מלמעלה על-ידי המקסימום של החסמים העליונים של שתי הקבוצות, וחסומה מלמטה על-ידי המינימום של החסמים התחתונים של שתי הקבוצות, כלומר:

מסקנה: הסדרה חסומה. מ.ש.ל