הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן דיריכלה

משפט

תהי $a_{n}$ סדרה מונוטונית שואפת ל־0 ותהי $b_{n}$ סדרה עבורה קיים $M>0$ כך שלכל $N\in \mathbb {N}$ מתקיים $\left|\sum _{n=1}^{N}{b_{n}}\right|<M$ .

אזי הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ מתכנס.

הוכחה

שלב א

תהי $B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ סדרת הסכומים החלקיים של $b_{n}$ . אם נגדיר $B_{0}=0$ נוכל לרשום לכל $n\in \mathbb {N}$

$b_{n}=B_{n}-B_{n-1}$

ולכן

$${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}a_{n}b_{n}&=\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1})\\&=\sum _{n=1}^{N}a_{n}B_{n}-\sum _{n=1}^{N}a_{n}B_{n-1}\\&=\sum _{n=1}^{N}a_{n}B_{n}-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n+1}B_{n}\qquad :B_{0}=0\\&=\sum _{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1})+a_{N}B_{N}\end{aligned}}$$

שלב ב

נניח ללא הגבלת הכלליות כי $a_{n}$ מונוטונית יורדת וחיובית, כלומר $a_{n}\geq a_{n+1}$ . אנו רשאים לעשות כן, שכן אם $a_{n}$ מונוטונית עולה ושלילית, הרי הסדרה $-a_{n}$ היא מונוטונית יורדת וחיובית,

ואם $\sum _{n=1}^{\infty }(-a_{n}b_{n})$ מתכנס, גם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-a_{n}b_{n})$ מתכנס, כי הוא כפל בקבוע של טור מתכנס.

כעת נוכיח שהטור $\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}(a_{n}-a_{n+1})$ מתכנס בהחלט, ובפרט מתכנס.

נתון כי $B_{n}$ חסומה, כלומר $\forall n\in \mathbb {N} :|B_{n}|<M$ . אזי לכל $N$ טבעי מתקיים

$${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\bigl |}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}){\bigr |}&=\sum _{n=1}^{N}|B_{n}|\cdot {\bigl |}a_{n}-a_{n+1}{\bigr |}\\&<M\cdot \sum _{n=1}^{N}{\bigl |}a_{n}-a_{n+1}{\bigr |}\\&=M\cdot \sum _{n=1}^{N}(a_{n}-a_{n+1})\\&=M(a_{1}-a_{N+1})\leq M\cdot a_{1}\end{aligned}}$$

סדרת הסכומים החלקיים הזו חסומה ומונוטונית עולה, שכן כל אבריה אי־שליליים. לכן היא מתכנסת, כלומר $\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}(a_{n}-a_{n+1})$ מתכנס בהחלט ובפרט מתכנס.

שלב ג

לפי כלל הסנדוויץ' לסדרות מתקיים

${\begin{aligned}-M\cdot a_{n}\leq a_{n}B_{n}\leq M\cdot a_{n}\\\lim _{n\to \infty }-M\cdot a_{n}=\lim _{n\to \infty }M\cdot a_{n}=0\\\lim _{n\to \infty }a_{n}B_{n}=0\end{aligned}}$

שלב ד

נשוב לנוסחא בסוף שלב א, ונשתמש במסקנותינו משלבים ב ו־ג, ונקבל לפי אריתמטיקה של גבולות:

$$\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}a_{n}b_{n}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1})+\lim _{n\to \infty }a_{n}B_{n}$$

$\blacksquare$